Área de un poliedro
¿Cuánto cartón hace falta para una caja? ¿Cuánto cristal para un lucernario con forma de pirámide? Para saberlo hay que calcular el área del poliedro: la suma de las áreas de todas sus caras. El truco es desplegarlo y verlo plano.
El desarrollo plano
Si "abres" un poliedro y lo extiendes sobre la mesa, obtienes su desarrollo plano: todas sus caras unidas por algunas aristas. El área del poliedro es el área de ese desarrollo.
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material…
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
Área de un prisma
Las caras laterales de un prisma recto, desplegadas, forman un rectángulo cuya base es el perímetro de la base del prisma y cuya altura es la altura del prisma.
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de…
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de…
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27,7\text{ cm}^2$, calcula el área total del estuche.
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. (Pista: Primero debes…
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.
(Pista: Primero debes hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).
Área de una pirámide
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos iguales de base el lado $l$ y altura la apotema de la pirámide $ap$:
$$A_L = \frac{P_{base} \cdot ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras…
Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la…
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).
Tronco de pirámide y poliedros regulares
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Tronco de pirámide: las caras laterales son trapecios. $A_L = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot ap}{2}$, y el total suma las dos bases.
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Poliedros regulares: todas las caras son iguales, así que $A = n.º\ \text{de caras} \cdot \text{área de una cara}$. Para triángulos equiláteros de lado $l$: área de cada cara $= \frac{\sqrt 3}{4}\,l^2$.
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área…
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15,6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de…
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el coste del baño es de $0,05\text{ €}$ por cada…
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el coste del baño es de $0,05\text{ €}$ por cada centímetro cuadrado. ¿Cuál será el coste total de platear las $8$ caras del trofeo?
(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).