Propietats de les potències

A la ludoteca de l'institut, els jocs de taula s'organitzen en prestatgeries. Si tenim una expressió en forma de potència com $7^{3}$, indica quin és el nombre que actua com a base i quin com a exponent. Explica breument quina operació hauries de fer per calcular el seu valor (sense necessitat de donar el resultat final).

Una xarxa social coneguda mostra les fotos del perfil dels usuaris en una quadrícula quadrada. Si el mur de fotos de la Lucía té $5$ fotos d'amplada i $5$ fotos d'alçada, quantes fotos té en total? Expressa el resultat primer com una multiplicació de dos factors iguals, després en forma de potència i finalment calcula el valor total.

Calcula mentalment les potències especials següents. Recorda les regles per als exponents $0$ i $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

Aplica la propietat del producte de potències de la mateixa base per escriure les expressions següents com una sola potència (no cal calcular el valor final):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Pista: quan un nombre no té exponent, és com si tingués un $1$).

Utilitza la propietat del quocient de potències de la mateixa base per simplificar aquestes operacions en una única potència:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

Una empresa de missatgeria organitza els seus paquets en contenidors cúbics grans. Si en un contenidor caben $6$ caixes de llarg, $6$ caixes d'ample i $6$ caixes d'alt:

1. a) Expressa el nombre total de caixes que hi ha en un contenidor en forma de potència i calcula el resultat.
2. b) Si l'empresa té emmagatzemats $6^2$ contenidors iguals, quantes caixes tenen en total? Expressa el resultat com una sola potència.

Escriu com una sola potència utilitzant la propietat de potència d'una potència:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

Utilitza les propietats de les potències per simplificar l'expressió següent i deixar-la com una sola potència de base $2$:

Recorda indicar els passos seguits: primer opera dins del parèntesi, després aplica la potència d'una potència i, finalment, resol el quocient.

Calcula les expressions següents de dues formes distintes per comprovar que es compleixen les propietats de les potències:

• Forma A: Calculant primer l'interior dels parèntesis i després la potència.

• Forma B: Aplicant la propietat de la potència d'un producte o d'un quocient.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Esbrina el valor de la lletra $x$ en cadascuna de les igualtats següents aplicant les propietats de les potències:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indica quins valors no podria prendre $x$ en aquest cas).

Resol les operacions combinades següents aplicant correctament la jerarquia de les operacions i les propietats de les potències quan sigui possible:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$