Exercicis: Propietats de les potències

A la ludoteca de l'institut, els jocs de taula s'organitzen en prestatgeries. Si tenim una expressió en forma de potència com $7^{3}$, indica quin és el nombre que actua com a base i quin com a exponent. Explica breument quina operació hauries de fer per calcular el seu valor (sense necessitat de donar el resultat final).

Una xarxa social coneguda mostra les fotos del perfil dels usuaris en una quadrícula quadrada. Si el mur de fotos de la Lucía té $5$ fotos d'amplada i $5$ fotos d'alçada, quantes fotos té en total? Expressa el resultat primer com una multiplicació de dos factors iguals, després en forma de potència i finalment calcula el valor total.

Calcula mentalment les potències especials següents. Recorda les regles per als exponents $0$ i $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

Aplica la propietat del producte de potències de la mateixa base per escriure les expressions següents com una sola potència (no cal calcular el valor final):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Pista: quan un nombre no té exponent, és com si tingués un $1$).

Utilitza la propietat del quocient de potències de la mateixa base per simplificar aquestes operacions en una única potència:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

Escriu com una sola potència utilitzant la propietat de potència d'una potència:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

En un videojoc, cada vegada que passes de nivell, els teus punts es multipliquen per $10$. Si has passat $4$ nivells i la puntuació s'escriu com a $10^{4}$, quants punts tens en total? Escriu el nombre amb totes les xifres i explica quants zeros hi has afegit.

Calcula les següents arrels quadrades exactes pensant quin nombre multiplicat per ell mateix dóna el radicand. Fixa't en l'exemple de la figura: $\sqrt{25} = 5$ perquè $5^{2} = 25$.

1. a) $\sqrt{16} =$

1. b) $\sqrt{49} =$

1. c) $\sqrt{81} =$

1. d) $\sqrt{100} =$

En un control de Matemàtiques, la Lucía ha de simplificar l'operació $3^4 \cdot 3^2$ i deixar-la com una sola potència. Al seu full ha escrit el següent: «$3^4 \cdot 3^2 = 9^6$, perquè multiplico les bases ($3 \cdot 3 = 9$) i sumo els exponents ($4 + 2 = 6$)».

1. a) Identifica l'error comès per la Lucía i quina part del seu raonament sí que és correcta.
2. b) Explica amb les teves paraules, desenvolupant el significat de les potències com a factors que es repeteixen, per què la base s'ha de mantenir en multiplicar potències amb la mateixa base.
3. c) Escriu la solució correcta com una única potència.

Et demanen calcular mentalment el valor de l'expressió $2^4 \cdot 5^4$.

1. a) Abans de fer operacions sobre el paper, fes una estimació: el resultat final tindrà tres, quatre o cinc xifres? Explica breument en què et bases per a la teva predicció.
2. b) Aplica la propietat de la potència d'un producte en sentit invers (és a dir, utilitzant que $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$) per calcular el valor exacte de l'expressió de manera immediata.
3. c) Comprova si la teva estimació era correcta i explica quina relació té l'exponent comú amb la quantitat de zeros del resultat final.

Utilitza les propietats de les potències per simplificar l'expressió següent i deixar-la com una sola potència de base $2$:

Recorda indicar els passos seguits: primer opera dins del parèntesi, després aplica la potència d'una potència i, finalment, resol el quocient.

En el món de la informàtica, les capacitats d'emmagatzematge solen expressar-se en potències de base $10$. Un disc dur extern té una capacitat de $10^3$ gigabytes ($GB$). Si cada gigabyte conté $10^3$ megabytes ($MB$), i cada megabyte té $10^6$ bytes:

1. a) Expressa la capacitat total del disc dur en bytes utilitzant una sola potència de $10$.
2. b) Quantes fotos de $10^6$ bytes cadascuna cabrien al disc dur? Expressa el resultat com una potència.

Una empresa de missatgeria organitza els seus paquets en contenidors cúbics grans. Si en un contenidor caben $6$ caixes de llarg, $6$ caixes d'ample i $6$ caixes d'alt:

1. a) Expressa el nombre total de caixes que hi ha en un contenidor en forma de potència i calcula el resultat.
2. b) Si l'empresa té emmagatzemats $6^2$ contenidors iguals, quantes caixes tenen en total? Expressa el resultat com una sola potència.

Calcula les expressions següents de dues formes distintes per comprovar que es compleixen les propietats de les potències:

• Forma A: Calculant primer l'interior dels parèntesis i després la potència.

• Forma B: Aplicant la propietat de la potència d'un producte o d'un quocient.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Un repte solidari de l'institut es difon en cadena. Al principi el proposen $3$ alumnes. Cadascun d'ells el proposa a $3$ persones noves més, i així positivament en diferents nivells de difusió.

1. a) Quantes persones hauran rebut el repte al cinquè nivell? Expressa-ho com a potència i calcula el valor.
2. b) Si al nivell $n$ l'han rebut $243$ persones, quin és el valor de $n$?
3. c) Expressa el producte del tercer nivell pel quart nivell com una sola potència.

El pati d'un institut té forma quadrada i una superfície total de $225 m^2$. L'equip de manteniment vol envoltar-lo amb una cinta de senyalització per a una activitat esportiva, però deixant un espai lliure de $2$ metres per a una porta en un dels costats.

1. a) Quant mesura el costat del pati? (Fes servir l'arrel quadrada).
2. b) Quants metres de cinta necessiten comprar?

Resol les operacions combinades següents aplicant correctament la jerarquia de les operacions i les propietats de les potències quan sigui possible:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$

Esbrina el valor de la lletra $x$ en cadascuna de les igualtats següents aplicant les propietats de les potències:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indica quins valors no podria prendre $x$ en aquest cas).

En un torneig autonòmic escolar de bàsquet 3x3 organitzat a Zaragoza participen $2^6$ equips. El campionat es disputa per eliminatòria directa: a cada ronda els equips juguen per parelles, de manera que només els guanyadors passen a la fase següent (a cada ronda es divideix entre $2$ el nombre d'equips participants).

1. a) Expressa, mitjançant una divisió de potències de la mateixa base, quants equips quedaran en competició després d'haver-se disputat $4$ rondes eliminatòries. Aplica les propietats de les potències per simplificar l'expressió a una sola potència de base $2$ i calcula quants equips queden.
2. b) Per proclamar l'equip campió ha de quedar exactament $1$ equip. Utilitza la propietat del quocient de potències de la mateixa base i la definició d'exponent zero ($2^0 = 1$) per deduir quantes rondes eliminatòries es disputaran en total fins al final del torneig.

Per simplificar l'expressió $(18^3 : 6^3) \cdot 3^5$ i deixar-la expressada com una única potència, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode 1 (Marcos): Observa que el parèntesi conté una divisió amb el mateix exponent ($3$), per la qual cosa fa primer $(18 : 6)^3$ i després multiplica el resultat per $3^5$.

• Mètode 2 (Elena): Prefereix descompondre primer les bases en factors primers ($18 = 2 \cdot 3^2$ i $6 = 2 \cdot 3$), aplica les propietats de les potències a tots els factors i finalment simplifica.

1. a) Aplica el Mètode 1 de Marcos pas a pas, indicant a cada línia quina propietat de les potències estàs utilitzant, i troba el resultat com una sola potència.
2. b) Explica raonadament per què el mètode de Marcos és més ràpid i redueix la probabilitat de cometre errors de càlcul en aquest cas.
3. c) Posa un exemple d'una operació en què el mètode de Marcos no es pugui aplicar de manera directa i calgui utilitzar la descomposició factorial d'Elena (per exemple, si les bases no fossin divisibles).

Aplica les propietats de les potències i realitza les transformacions de base necessàries per expressar el resultat com una única potència:

$\frac{2^5 \cdot (4^2)^3 \cdot 8}{2^8 \cdot 16}$

Recorda que per operar amb les propietats de la mateixa base, primer has de descompondre els nombres $4$, $8$ i $16$ en potències de base $2$.

En el món de la informàtica, les unitats de mesura creixen en potències de base $2$. Sabem que $1 \text{ Kilobyte (KB)} = 2^{10} \text{ bytes}$. Si un servidor d'un centre educatiu té una capacitat d'emmagatzematge de $64 \text{ KB}$ i volem ampliar-lo instal·lant $4$ targetes de memòria addicionals, cadascuna amb una capacitat de $16 \text{ KB}$:

1. a) Expressa la capacitat total final del servidor en forma d'una única potència de base $2$.
2. b) Quantes vegades és més gran la capacitat final respecte a la inicial? (Expressa el resultat com a potència).

Calcula el valor de la següent expressió combinada respectant la jerarquia de les operacions i aplicant les propietats de les potències sempre que sigui possible:

$10^2 : [5^2 \cdot (2^5 : 2^3)] + \sqrt{144} \cdot (3^2 - 2^3)$

Un astrònom observa dues galàxies. La galàxia A està a una distància de $3^8 \text{ km}$ de la Terra i la galàxia B està a una distància de $27^3 \text{ km}$.

1. a) Quina de les dues galàxies es troba més allunyada de nosaltres? Justifica la teva resposta utilitzant potències de la mateixa base.
2. b) Si la llum recorre aproximadament $3 \cdot 10^5 \text{ km}$ en un segon, quants segons trigaria a arribar la llum de la galàxia A a la Terra? (Deixa el resultat expressat com a operació de potències).

Troba el valor de l'exponent desconegut $x$ en les igualtats següents aplicant les propietats de les potències:

1. a) $3^x \cdot 9^2 = 3^7$
2. b) $(5^3)^x : 125 = 5^9$
3. c) $2^4 \cdot 4^x \cdot 8 = 2^{11}$

Un vídeo de TikTok es torna viral. Inicialment el comparteixen $2$ persones. Cada hora que passa, el nombre de persones que l'han compartit es duplica.

1. a) Quantes persones hauran compartit el vídeo al cap de $10$ hores? Expressa el resultat com a potència i com a nombre natural.
2. b) Si volem representar el nombre total de persones en notació científica després de $20$ hores, quin seria el valor aproximat si $2^{10} \approx 10^3$?

Un pati quadrat està pavimentat amb rajoles també quadrades. El nombre total de rajoles és el resultat de l'expressió:

$N = \sqrt{5^2 - 3^2} \cdot \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 10^2}$

1. a) Calcula el valor de $N$ (nombre total de rajoles).
2. b) Quantes rajoles hi ha a cada costat del pati?
3. c) Si cada rajola fa $40 \text{ cm}$ de costat, quina és la superfície total del pati en metres quadrats?

Utilitza la descomposició en factors primers per calcular l'arrel quadrada exacta dels nombres següents de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$
2. b) $\sqrt{1296}$ (Pista: factoritza primer el nombre).
3. c) $\sqrt{\frac{10^4 \cdot 2^2}{25}}$

En un centre d'investigació marina s'analitza la reproducció cel·lular d'una alga microscòpica. L'equip modelitza el procés i obté la següent igualtat amb dos exponents desconeguts, $a$ i $b$:

1. a) Descompon els nombres $4$ i $8$ en potències de base $2$ i aplica les propietats de la potència d'una potència, del producte i del quocient de potències de la mateixa base per reduir tot el membre esquerre a una única potència de base $2$.
2. b) Dedueix la relació numèrica que han de complir els exponents $a$ i $b$ perquè es mantingui la igualtat.
3. c) Troba dues parelles diferents de nombres naturals $(a, b)$, tots dos més grans que zero, que compleixin aquesta condició. Tria una de les dues parelles i comprova que la igualtat es verifica pas a pas.

Es vol saber quin d'aquests dos nombres és més gran sense calcular els seus gegantins desenvolupaments numèrics: $A = 2^{60}$ i $B = 3^{40}$.

A classe sorgeixen dues postures diferents:

• El David assegura: «$A$ és més gran que $B$ perquè el seu exponent és $60$ i el de $B$ és només $40$. A major exponent, més gran és sempre el resultat».

• La Sara li rebat: «Això no sempre és veritat quan les bases són diferents. Tanmateix, podem transformar totes dues potències fent servir la propietat de la potència d'una potència perquè tinguin el mateix exponent i comparar-les amb seguretat».

1. a) Demostra que l'afirmació del David és falsa proposant un contraexemple senzill amb nombres petits (escriu dues potències on la de menor exponent tingui un valor numèric més gran que la de major exponent).
2. b) Ajuda la Sara: calcula el màxim comú divisor dels exponents $60$ i $40$ i expressa $2^{60}$ i $3^{40}$ en la forma $(a^m)^k$, de manera que totes dues quedin elevades al mateix exponent comú $k$.
3. c) Resol les potències interiors de les bases obtingudes a l'apartat anterior i justifica amb rigor quin dels dos nombres originals, $A$ o $B$, és el més gran.