Nombres primers i descomposició factorial
$13$ amics no es poden posar en files iguals de més d'una persona: només caben tots en una fila de $13$, o cadascú sol. En canvi, $12$ es pot organitzar de mil maneres: $2 \cdot 6$, $3 \cdot 4$, $1 \cdot 12$... La diferència està en els seus divisors.
Nombres primers i compostos
A classe d'Educació Física, el professor vol organitzar els $13$ alumnes en files i columnes perfectes per fer un exercici (per exemple, $2$ files de $6$ persones). a)…
A classe d'Educació Física, el professor vol organitzar els $13$ alumnes en files i columnes perfectes per fer un exercici (per exemple, $2$ files de $6$ persones).
- a) Per què no ho pot fer amb $13$ alumnes de cap manera que no sigui una única fila de $13$?
- b) Quin tipus de nombre és el $13$ segons els seus divisors?
Classifica els nombres següents a la taula segons siguin primers (només tenen dos divisors: el $1$ i ells mateixos) o compostos (tenen més de dos divisors):…
Classifica els nombres següents a la taula segons siguin primers (només tenen dos divisors: el $1$ i ells mateixos) o compostos (tenen més de dos divisors):
$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$
| Nombres Primers | Nombres Compostos |
|---|---|
La garbella d'Eratòstenes
Fa més de $2.000$ anys, Eratòstenes va idear un «filtre» per trobar tots els primers fins a un nombre donat: ratlles els múltiples de cada primer que trobes, i el que sobreviu és primer.
La garbella com a algorisme
Un algorisme és una llista precisa d'instruccions. Segueix aquesta versió per trobar els primers fins a 30:
-
Escriu els nombres del 2 al 30. L'1 queda fora perquè no és primer.
-
Encercla el menor nombre que encara no estigui encerclat ni ratllat.
-
Ratlla els seus múltiples més grans que ell, sense ratllar el propi nombre encerclat.
-
Repeteix els passos 2 i 3 fins que tots els nombres estiguin encerclats o ratllats. Els encerclats són els primers.
En una convenció de col·leccionistes de cartes, s'han numerat els expositors del $10$ al $25$. Els organitzadors volen destacar els llocs que tenen un nombre primer amb…
En una convenció de col·leccionistes de cartes, s'han numerat els expositors del $10$ al $25$. Els organitzadors volen destacar els llocs que tenen un nombre primer amb un cartell taronja. Escriu la llista de tots els nombres de lloc que haurien de portar el cartell taronja.
El Crible d'Eratòstenes funciona com un filtre que deixa passar només els nombres primers. Si aboquem els nombres del $1$ al $10$ al filtre, explica per què el nombre…
El Crible d'Eratòstenes funciona com un filtre que deixa passar només els nombres primers. Si aboquem els nombres del $1$ al $10$ al filtre, explica per què el nombre $1$ no es considera primer i per què el nombre $9$ es queda atrapat al filtre dels nombres compostos.
En una classe de matemàtiques, el professor diu que per saber si un nombre més petit que $100$ és primer, n'hi ha prou amb comprovar que no és divisible per $2, 3, 5$ i…
En una classe de matemàtiques, el professor diu que per saber si un nombre més petit que $100$ és primer, n'hi ha prou amb comprovar que no és divisible per $2, 3, 5$ i $7$.
Raona per què no cal comprovar si és divisible per $11$ o per altres nombres primers més grans. Aplica aquesta idea per comprovar si el nombre $97$ és primer.
Descomposició factorial
Tot nombre compost es pot escriure com un producte de nombres primers: és com trobar els «maons» amb què està fet.
Descompon en factors primers el nombre $40$ utilitzant el mètode de la barra vertical i expressa el resultat com un producte de potències.
Descompon en factors primers el nombre $40$ utilitzant el mètode de la barra vertical i expressa el resultat com un producte de potències.
Fes la descomposició en factors primers (factorització) dels nombres següents utilitzant el mètode de la barra vertical. Expressa el resultat final utilitzant potències…
Fes la descomposició en factors primers (factorització) dels nombres següents utilitzant el mètode de la barra vertical. Expressa el resultat final utilitzant potències quan sigui possible:
- a) $180$
- b) $252$
- c) $450$
De vegades, per descompondre nombres acabats en zero, podem fer servir "dreceres" mentals. Per exemple, sabem que $10 = 2 \cdot 5$, així que cada zero final aporta un…
De vegades, per descompondre nombres acabats en zero, podem fer servir "dreceres" mentals. Per exemple, sabem que $10 = 2 \cdot 5$, així que cada zero final aporta un factor $2$ i un factor $5$.
Factoritza els nombres següents utilitzant aquest truc per estalviar passos a la ratlla vertical (pots treure d'un cop cada zero final anotant $2 \cdot 5$ a la dreta):
- a) $1.200$
- b) $4.500$
- c) $18.000$
Divisors a partir de la factorització
Un cop tens la descomposició, pots trobar tots els divisors combinant els factors, sense haver de provar-los un per un.
Troba tots els divisors del nombre $N$ sabent que la seva descomposició factorial és $N = 2^2 \cdot 13$. És $N$ un nombre compost o primer? Justifica la teva resposta…
Troba tots els divisors del nombre $N$ sabent que la seva descomposició factorial és $N = 2^2 \cdot 13$. És $N$ un nombre compost o primer? Justifica la teva resposta basant-te en la definició d'aquests tipus de nombres.
Troba tots els divisors dels nombres següents utilitzant la seva descomposició factorial. Mostra el procés de combinació de factors: a) $28$ b) $42$
Troba tots els divisors dels nombres següents utilitzant la seva descomposició factorial. Mostra el procés de combinació de factors:
- a) $28$
- b) $42$
Torna al principi: El grup de $13$ amics només pot formar una fila perquè $13$ és primer (els seus únics divisors són $1$ i $13$); en canvi, $12$ és compost i té $6$ divisors diferents ($1, 2, 3, 4, 6$ i $12$), cosa que permet moltes organitzacions diferents.