Màxim comú divisor

Calcula tots els divisors dels nombres $12$ i $18$. Després, indica quins són els divisors comuns i assenyala quin d'ells és el Màxim Comú Divisor (MCD).

Pots ajudar-te d'un diagrama com el de la figura: escriu a cada cercle els divisors de cada nombre i, a la zona on es creuen, els que són comuns.

Calcula mentalment el $MCD$ de les parelles de nombres següents. Són nombres petits on pots identificar el divisor comú més gran d'un cop d'ull:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

Què tenen en comú tots aquests resultats?

Observa les descomposicions factorials d'aquests dos nombres i troba el seu $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Recorda la regla pedagògica: "Per al MCD, agafem els factors comuns elevats al menor exponent".

Calcula el Màxim Comú Divisor ($M.C.D.$) dels grups de nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers:

1. a) $48$ i $72$
2. b) $30, 45$ i $60$
3. c) $120$ i $150$

Observa les descomposicions factorials següents de tres nombres i, sense fer les multiplicacions, indica quin és el seu $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Es diu que dos nombres són primers entre si si el seu únic divisor comú és el $1$. Comprova si les parelles de nombres següents són primeres entre si calculant el seu $M.C.D.$:

1. a) $14$ i $15$
2. b) $22$ i $33$
3. c) $21$ i $25$

Al taller de tecnologia, els alumnes tenen dos llistons de fusta de $36$ cm i $48$ cm de longitud. Necessiten tallar-los en trossos de la mateixa longitud, i aquesta ha de ser la màxima possible.

1. a) Quina serà la longitud de cada tros?
2. b) Quants trossos obtindran en total dels dos llistons?

A l'institut s'ha organitzat una jornada de convivència. Hi ha $54$ alumnes de 1r ESO i $42$ alumnes de 2n ESO. Es volen formar equips de manera que cada equip estigui format només per alumnes del mateix curs (no es barregen alumnes de 1r i de 2n). Tots els equips han de tenir exactament el mateix nombre de persones, i aquest nombre ha de ser el màxim possible sense que sobri ningú.

1. a) Quants alumnes hi haurà en cada equip?

1. b) Quants equips de 1r ESO i quants de 2n ESO es formaran?

Per a un banc d'aliments, un supermercat dona $36$ pots de llegums, $48$ caixes de llet i $60$ paquets d'arròs. Volen preparar el nombre més gran possible de bosses iguals per repartir, de manera que a cada bossa hi hagi el mateix nombre de productes de cada tipus.

1. a) Quantes bosses podran preparar com a màxim?
2. b) Què contindrà cada bossa?