Polígons

En el polígon següent, que representa la planta d'un petit traster, identifica i compta els elements següents:

• Nombre de vèrtexs.

• Nombre de costats.

• Nombre d'angles interiors.

• Traça una diagonal que uneixi el vèrtex $A$ amb el vèrtex $C$ (copia abans el polígon al teu quadern).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una diagonal és un segment que uneix dos vértexs no consecutius d'un polígon. Fixa't en el pentàgon (5 costats) del dibuix i dibuixa totes les diagonals possibles que surtin des del vértex marcat en taronja. Quantes diagonals totals creus que té un pentàgon si les dibuixes totes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Classifica els polígons següents segons el seu nombre de costats utilitzant els noms tècnics corresponents (triangle, quadrilàter, pentàgon, etc.):

Un polígon és convex si tots els seus angles interiors són menors de $180^\circ$ i còncau si en té almenys un de major de $180^\circ$. Observa aquestes dues fletxes de senyalització i indica quina és còncava i quina és convexa.

Perquè un polígon sigui regular, ha de tenir tots els seus costats de la mateixa longitud i tots els seus angles iguals. Observa les figures següents d'un videojoc i determina quina d'elles compleix les condicions per ser un polígon regular.

Un decorador està dissenyant un mosaic modern utilitzant peces amb forma de pentàgon regular. En intentar ajuntar tres peces en un mateix punt (vértex comú), se n'adona que queda un petit forat buit.

• Calcula la mida de l'angle interior d'un pentàgon regular.

• Sabent que una volta completa al voltant d'un punt són $360^\circ$, quants graus mesura el forat que queda lliure en ajuntar tres pentàgons?

Per a un projecte de robòtica, una placa metàl·lica ha de tenir la forma d'un hexàgon. El fabricant diu que la placa és "equiàngula" (tots els seus angles interiors són iguals), però no és "equilàtera" (els seus costats no mesuren el mateix).

• És aquest hexàgon un polígon regular? Raona la resposta basant-te en la definició.

• Si la placa té 6 costats, quant ha de sumar la mida de tots els seus angles interiors?

• Quin és el valor de cadascun dels seus angles interiors?

Calcula el perímetre de la parcel·la de jardí següent si sabem que els seus costats mesuren les quantitats indicades en el dibuix. Recorda que el perímetre és la suma de les longituds de tots els seus costats.

Sabem que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre $180^\circ$. En el quadrilàter $ABCD$ de la figura s'ha traçat la diagonal $AC$ (línia discontínua), que el divideix en dos triangles: $ABC$ (en taronja) i $ACD$ (en blau). Basant-te en això, quant creus que sumaran els angles interiors de qualsevol quadrilàter? Justifica la teva resposta.

Calcula el perímetre d'un pentàgon irregular sabent que té dos costats de $8\text{ cm}$ cadascun, uns altres dos costats que mesuren el doble que els anteriors, i un últim costat que mesura la meitat de la suma dels altres quatre. Seria possible que aquest pentàgon fos regular? Explica per què.

Un arquitecte està dissenyant una claraboia amb forma de polígon regular. Es sap que la suma de tots els seus angles interiors és d'exactament $1080^\circ$. Tanmateix, per un error de fabricació, un dels angles interiors ha resultat ser $5^\circ$ més gran del que hauria de ser.

1. Quants costats té la claraboia original?

2. Si la resta dels angles es mantenen iguals, quant mesura l'angle que ha sortit defectuós?

3. Segueix sent un polígon regular? Raona la teva resposta basant-te en la definició de polígon regular.

Un parc infantil té forma de pentàgon irregular. Els seus angles interiors són $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ i $90^\circ$.

1. Calcula la mida del cinquè angle.

2. És possible que aquest parc sigui un pentàgon convex? Justifica la teva resposta.

3. Si l'angle de $90^\circ$ es troba entre dos costats de $12 \text{ m}$ i $16 \text{ m}$, quant mesuraria el segment que uneix els extrems d'aquests dos costats? (Utilitza el teorema de Pitàgores).