Triangles

En un triangle, coneixem la mida de dos dels seus angles interiors: $\hat{A} = 45^\circ$ i $\hat{B} = 75^\circ$. Calcula quant mesura el tercer angle $\hat{C}$ sabent que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre $180^\circ$.

Per decorar la seva habitació, la Lucía ha retallat un banderí de roba amb forma de triangle. En mesurar els seus costats, ha vist que mesuren $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. Com es classifica aquest triangle segons la longitud dels seus costats?

Un triangle isòsceles té un angle desigual que mesura $40^\circ$. Si els altres dos angles són iguals entre ells, quina és la mida de cadascun d'aquests angles iguals?

Classifica els triangles següents segons la mida dels seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle):

• Triangle 1: Els seus angles mesuren $90^\circ$, $40^\circ$ i $50^\circ$.

• Triangle 2: Els seus angles mesuren $110^\circ$, $30^\circ$ i $40^\circ$.

• Triangle 3: Els seus angles mesuren $60^\circ$, $60^\circ$ i $60^\circ$.

En un triangle rectangle, els dos costats que formen l'angle de $90^\circ$ mesuren $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$. Com es diuen aquests dos costats en la terminologia matemàtica dels triangles rectangles? I com es diu el costat més llarg que queda davant de l'angle recte?

En un taller de disseny gràfic, estan creant un nou logotip que té forma de triangle. Sabem que dos dels seus angles interiors mesuren $42^\circ$ i $68^\circ$.

1. a) Calcula quant mesura el tercer angle del logotip.
2. b) Classifica el triangle segons els seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle).
3. c) Classifica el triangle segons els seus costats (equilàter, isòsceles o escalè).

Marcos té tres varetes de fusta per construir una estructura triangular. Les longituds de les varetes són $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $4\text{ cm}$. La figura mostra les tres varetes dibuixades a la mateixa escala.

Explica raonadament si Marcos podrà formar un triangle amb elles o si li resultarà impossible.

Un fuster té tres llistons de fusta per fabricar un marc triangular per a un mirall. Els llistons mesuren $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ i $24\text{ cm}$.

1. a) Explica, utilitzant la propietat de la suma dels costats d'un triangle, si és possible construir el marc amb aquestes mides.
2. b) Si decideix canviar el llistó de $24\text{ cm}$ per un de $20\text{ cm}$, el podria construir ara? Raona la teva resposta.

Un parc infantil té un sorral en forma de triangle rectangle. Sabem que el costat més llarg (la hipotenusa) mesura $13\text{ metres}$ i un dels costats que forma l'angle recte mesura $5\text{ metres}$.

1. a) Calcula la longitud de l'altre costat del sorral.
2. b) Troba el perímetre total del sorral.
3. c) Calcula la superfície que ocupa la sorra.

Observa la figura adjunta, que representa una peça metàl·lica. Està formada per un triangle rectangle gran i un altre de més petit al seu interior. Sabem que el catet horitzontal del gran mesura $15 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $60 \text{ cm}^2$. El triangle petit és semblant i té una base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula l'altura del triangle gran.

2. Utilitzant la lògica de les proporcions, calcula l'àrea del triangle petit. (Pista: si la base és la tercera part, què passarà amb l'altura?).

Tres pobles, Altea ($A$), Belmonte ($B$) i Calar ($C$), estan situats de manera que formen un triangle escalè, com mostra la figura. Es vol instal·lar una torre de telecomunicacions que sigui exactament a la mateixa distància dels tres pobles.

1. a) Quin punt notable del triangle representa la ubicació de la torre?

1. b) Quines rectes notables has hagut de traçar per trobar aquest punt? Dibuixa un esquema aproximat de la situació.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tres pobles de la serra, Alpedrete, Becerril i Cercedilla, volen construir una torre de telefonia que estigui exactament a la mateixa distància dels tres perquè tots tinguin la mateixa cobertura.

1. a) Com es diu el punt notable del triangle on han de col·locar la torre?

1. b) Si el triangle que formen els pobles és obtusangle, explica raonadament si la torre estarà dins o fora de l'àrea delimitada pels tres pobles.

1. c) Dibuixa un esquema aproximat de la situació: el triangle obtusangle amb els tres pobles, les línies que fas servir per trobar el punt i la posició de la torre.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.