Exercicis: Triangles

Per decorar la seva habitació, la Lucía ha retallat un banderí de roba amb forma de triangle. En mesurar els seus costats, ha vist que mesuren $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. Com es classifica aquest triangle segons la longitud dels seus costats?

En un triangle, coneixem la mida de dos dels seus angles interiors: $\hat{A} = 45^\circ$ i $\hat{B} = 75^\circ$. Calcula quant mesura el tercer angle $\hat{C}$ sabent que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre $180^\circ$.

Marcos té tres varetes de fusta per construir una estructura triangular. Les longituds de les varetes són $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $4\text{ cm}$. La figura mostra les tres varetes dibuixades a la mateixa escala.

Explica raonadament si Marcos podrà formar un triangle amb elles o si li resultarà impossible.

Classifica els triangles següents segons la mida dels seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle):

• Triangle 1: Els seus angles mesuren $90^\circ$, $40^\circ$ i $50^\circ$.

• Triangle 2: Els seus angles mesuren $110^\circ$, $30^\circ$ i $40^\circ$.

• Triangle 3: Els seus angles mesuren $60^\circ$, $60^\circ$ i $60^\circ$.

Un jardí té forma de triangle equilàter. Si un dels seus costats mesura $8\text{ metres}$, quants metres de tanca necessitarem per rodear-lo completament? Calcula el seu perímetre.

Un triangle isòsceles té un angle desigual que mesura $40^\circ$. Si els altres dos angles són iguals entre ells, quina és la mida de cadascun d'aquests angles iguals?

Observa el senyal de trànsit de "Cedeix el pas". Té forma de triangle equilàter. Indica quant ha de mesurar cadascun dels seus angles interiors sense necessitat d'utilitzar un transportador. Justifica la teva resposta basant-te en les propietats d'aquest tipus de polígons.

En un triangle rectangle, els dos costats que formen l'angle de $90^\circ$ mesuren $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$. Com es diuen aquests dos costats en la terminologia matemàtica dels triangles rectangles? I com es diu el costat més llarg que queda davant de l'angle recte?

En Marcos vol construir el marc d'un mirall triangular per a la seva habitació i ha tallat tres llistons de fusta que mesuren $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$. En ensenyar-los a la seva germana, afirma: «Com que els tres llistons tenen una longitud diferent, podré formar un triangle escalè sense cap problema».\na) Troba l'error en l'afirmació d'en Marcos i explica per què és físicamentGroup impossible construir el marc amb aquestes mesures, aplicant la desigualtat triangular.\nb) Si en Marcos decideix substituir únicament el llistó de $10\text{ cm}$ per un de nou, quina és la longitud sencera màxima (en centímetres) que pot tenir el nou llistó per poder tancar el triangle juntament amb els de $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$?\nc) Si volgués formar un triangle isòsceles reutilitzant els llistons de $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$, indica quines dues mesures senceres diferents podria tenir el llistó de reemplaçament.

A la classe d'Educació Plàstica, la Lucía està dissenyant un vitrall amb peces de vidre triangulars. En una de les peces, ha mesurat amb el transportador d'angles dos dels seus angles interiors, que resulten ser $27^\circ$ i $38^\circ$.\na) Abans de calcular el valor exacte del tercer angle, estima raonadament si aquest angle serà agut, recte o obtús (observa si la suma dels dos coneguts supera o no els $90^\circ$). A partir de la teva estimació, indica quin tipus de triangle esperes obtenir segons els seus angles.\nb) Calcula el valor exacte del tercer angle utilitzant la propietat de la suma dels angles interiors d'un triangle i comprova si la teva estimació era encertada.\nc) Sabent que els tres costats d'aquesta peça tenen longituds diferents, classifica el triangle segons els seus costats.

En un taller de disseny gràfic, estan creant un nou logotip que té forma de triangle. Sabem que dos dels seus angles interiors mesuren $42^\circ$ i $68^\circ$.

1. a) Calcula quant mesura el tercer angle del logotip.
2. b) Classifica el triangle segons els seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle).
3. c) Classifica el triangle segons els seus costats (equilàter, isòsceles o escalè).

Un fuster té tres llistons de fusta per fabricar un marc triangular per a un mirall. Els llistons mesuren $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ i $24\text{ cm}$.

1. a) Explica, utilitzant la propietat de la suma dels costats d'un triangle, si és possible construir el marc amb aquestes mides.
2. b) Si decideix canviar el llistó de $24\text{ cm}$ per un de $20\text{ cm}$, el podria construir ara? Raona la teva resposta.

Una tenda de campanya té un frontal amb forma de triangle isòsceles. La base de la tenda mesura $2,4\text{ metres}$ i els dos costats iguals mesuren $2\text{ metres}$ cadascun.

1. a) Utilitza el teorema de Pitàgores per calcular l'altura de la tenda de campanya.
2. b) Calcula l'àrea de la lona necessària per cobrir únicament el frontal de la tenda.

Tres pobles, Altea ($A$), Belmonte ($B$) i Calar ($C$), estan situats de manera que formen un triangle escalè, com mostra la figura. Es vol instal·lar una torre de telecomunicacions que sigui exactament a la mateixa distància dels tres pobles.

1. a) Quin punt notable del triangle representa la ubicació de la torre?

1. b) Quines rectes notables has hagut de traçar per trobar aquest punt? Dibuixa un esquema aproximat de la situació.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un parc infantil té un sorral en forma de triangle rectangle. Sabem que el costat més llarg (la hipotenusa) mesura $13\text{ metres}$ i un dels costats que forma l'angle recte mesura $5\text{ metres}$.

1. a) Calcula la longitud de l'altre costat del sorral.
2. b) Troba el perímetre total del sorral.
3. c) Calcula la superfície que ocupa la sorra.

S'ha dissenyat un senyal de trànsit triangular que és un triangle equilàter de $60\text{ cm}$ de costat.

1. a) Si volem posar una vora reflectant al voltant del senyal, quants metres de material reflectant necessitarem?
2. b) Si tracem les tres bisectrius del triangle, com es diu el punt on es creuen? Quina propietat especial té aquest punt respecte als costats del senyal?

Observa la figura següent composta per dos triangles. El triangle $ABC$ és rectangle en $B$ i el triangle $ACD$ és isòsceles amb $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Si $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ i $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcula:

1. a) La longitud del costat $\overline{AC}$.
2. b) El perímetre total de la figura ombrejada $ABCD$ sabent que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

En un jardí, es vol col·locar una tanca que me delimiti una zona de flors amb forma de triangle isòsceles. L'angle desigual mesura $100^\circ$.

1. a) Quant mesura cadascun dels altres dos angles de la zona de flors?
2. b) Si tracem la mediana des del tèrtex de l'angle de $100^\circ$ cap al costat oposat, en quins dos tipus de triangles queda dividida la zona? Classifica'ls segons els seus angles.

Un equip de disseny gràfic ha de crear un logotip que contingui una figura triangular complint estrictament tres condicions geomètriques:\n1. El triangle ha de ser isòsceles i a més obtusangle.\n2. L'angle obtús és l'angle desigual i el seu valor en graus ha de ser un nombre múltiple de $10^\circ$.\n3. Cadascun dels dos angles iguals ha de mesurar estrictament més de $25^\circ$.\na) Planteja la relació matemàtica entre els tres angles interiors i dedueix pas a pas totes les combinacions possibles d'angles (tèrnes) que compleixen aquestes tres condicions.\nb) Podria existir alguna solució vàlida si afegíssim la condició que els angles iguals mesurin més de $45^\circ$? Justifica la teva resposta a partir de la definició de triangle obtusangle.

En un mapa de carreteres de Castella i Lleó, tres capitals de província formen un triangle: Palència, Valladolid i Zamora. Les distàncies mesurades en línia recta són aproximadament:\n- Entre Palència i Valladolid: $48\text{ km}$.\n- Entre Valladolid i Zamora: $96\text{ km}$.\na) La Junta de Castella i Lleó estudia la viabilitat d'obrir una carretera directa entre Palència i Zamora. Aplicant la desigualtat triangular, calcula entre quins valors mínim i màxim (sense incloure els extrems) s'ha de trobar la distància en línia recta entre Palència i Zamora perquè el trajecte no quedi aplanat en una sola línia recta.\nb) Si la distància real en línia recta entre Palència i Zamora resultés ser de $110\text{ km}$, comprova mitjançant el teorema de Pitàgores si aquestes tres ciutats podrien formar un triangle rectangle amb angle recte a Valladolid (on el tram Palència-Zamora seria la hipotenusa).\nc) Si un fullet turístic indiqués per error que la distància directa entre Palència i Zamora és de només $40\text{ km}$, raona per què aquesta dada és geomètricamentGroupGroup impossible sense necessitat de mesurar sobre el terreny.

En un taller de disseny de videojocs, un programador necessita crear un personatge amb forma de triangle isòsceles. L'angle desigual del vértex superior mesura el triple que un dels angles de la base, menys $20^\circ$. Calcula la mida dels tres angles del personatge perquè el disseny sigui geomètricament correcte.

Tres pobles de la serra, Alpedrete, Becerril i Cercedilla, volen construir una torre de telefonia que estigui exactament a la mateixa distància dels tres perquè tots tinguin la mateixa cobertura.

1. a) Com es diu el punt notable del triangle on han de col·locar la torre?

1. b) Si el triangle que formen els pobles és obtusangle, explica raonadament si la torre estarà dins o fora de l'àrea delimitada pels tres pobles.

1. c) Dibuixa un esquema aproximat de la situació: el triangle obtusangle amb els tres pobles, les línies que fas servir per trobar el punt i la posició de la torre.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un arquitecte està dissenyant una rampa per a un skatepark. Ha calculat que el suport principal ha de formar un triangle de costats $x + 2$ metres, $2x - 1$ metres i $10$ metres.

1. Si el triangle ha de ser isòsceles, amb els costats $x + 2$ i $2x - 1$ iguals, quant ha de valer $x$?

2. Si $x = 3$, és possible construir aquest triangle? Justifica la teva resposta utilitzant la propietat de la suma dels costats d'un triangle.

En el logotip d'una nova marca de roba esportiva, apareixen dos rectangles que es creuen formant diversos triangles. En el triangle central $ABC$, sabem que l'angle en $A$ mesura $45^\circ$ i que l'angle exterior al tèrtex $B$ mesura $115^\circ$.

1. Calcula els tres angles interiors del triangle $ABC$.

2. Classifica el triangle segons els seus costats i segons els seus angles.

Un jardí té forma de rectangle de $12 \times 8$ metres. Per instal·lar un sistema de reg, s'ha dividit el jardí traçant una diagonal. En un dels dos triangles resultants, es vol col·locar un aspersor circular a l'incentre.

1. Explica què són les bisectrius i per què l'aspersor a l'incentre és la millor opció perquè estigui a la mateixa distància dels tres costats del triangle (les dues vores del jardí i la diagonal).

2. Dibuixa el rectangle, la diagonal i l'incentre d'un dels triangles de manera esquemàtica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la figura adjunta, que representa una peça metàl·lica. Està formada per un triangle rectangle gran i un altre de més petit al seu interior. Sabem que el catet horitzontal del gran mesura $15 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $60 \text{ cm}^2$. El triangle petit és semblant i té una base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula l'altura del triangle gran.

2. Utilitzant la lògica de les proporcions, calcula l'àrea del triangle petit. (Pista: si la base és la tercera part, què passarà amb l'altura?).

Un explorador ha col·locat una corda de $24$ metres rodejant un terreny triangular per muntar el seu campament.

1. Si el terreny és un triangle isòsceles i un dels costats iguals mesura $9 \text{ metres}$, quant mesura el costat restant?

2. Si l'explorador volgués que el triangle fos rectangle amb costats de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ i $10 \text{ m}$, li mevalria la mateixa corda? Comprova també si es compleix el teorema de Pitàgores en aquest últim cas.

En un examen de geometria avançada, es presenta un triangle on les tres medianes es tallen en un punt $G$ (Baricentre). Si la mediana que surt del tèrtex $A$ mesura un total de $12 \text{ cm}$, calcula la mida dels dos segments en què el punt $G$ divideix aquesta mediana. (Recorda la propietat: el baricentre divideix la mediana en dues parts, i una és el doble que l'altra).

Per esbrinar si tres varetes rígides de longituds $a = 8\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$ i $c = 25\text{ cm}$ es poden unir pels seus extrems per construir una estructura triangular, a l'aula es proposen dos camins:\n- Mètode 1 (Comprovació completa): Plantejar i comprovar una a una les tres desigualtats triangulars: $a < b + c$, $b < a + c$ i $c < a + b$.\n- Mètode 2 (Comprovació reduïda): Localitzar la vareta més llarga ($c$) i comprovar únicament si aquesta vareta és menor que la suma de les altres dues ($c < a + b$).\na) Aplica ambdós mètodes al cas de les varetes de $8\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ i $25\text{ cm}$ i escriu la conclusió a la qual s'arriba en cadascun.\nb) Justifica matemàticament per què el Mètode 2 és sempre suficient: per què, si el costat més gran és menor que la suma dels altres dos, podem assegurar amb certesa absoluta que les altres dues desigualtats es compliran sempre sense necessitat de calcular-les?\nc) Si decidim retirar la vareta de $25\text{ cm}$ i substituir-la per una nova vareta de longitud sencera $x$ per formar un triangle juntament amb les de $8\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$:\n1) Calcula quina longitud sencera exacta ha de tenir $x$ perquè el triangle sigui rectangle i aquesta vareta actuï com a hipotenusa, comprovant-ho amb el teorema de Pitàgores.\n2) Indica quins valors sencers podria prendre $x$ perquè el triangle resultant fos isòsceles i geomètricament possible.

Durant una travessa d'alta muntanya al Parque Nacional de los Picos de Europa, tres refugis ($A$, $B$ i $C$) estan connectats per senders rectes formant un triangle. El guia de muntanya revisa les fitxes tècniques:

• L'angle al refugi $A$ mesura el triple que l'angle al refugi $B$.

• L'angle al refugi $C$ mesura exactament $20^\circ$.

• La distància en línia recta entre el refugi $A$ i el refugi $B$ és de $7\text{ km}$.

• La distància en línia recta entre el refugi $B$ i el refugi $C$ és de $18\text{ km}$.

1. a) Modela la situació plantejant una equació amb els angles interiors del triangle i troba la mesura exacta dels angles al refugi $A$ i al refugi $B$.
2. b) Classifica el triangle que formen els tres refugis tant pels seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle) com pels seus costats (equilàter, isòsceles o escalè).
3. c) Un senderista assegura: «Per anar directament del refugi $C$ al refugi $A$ en línia recta haurem de caminar més de $25\text{ km}$». Demostra matemàticament, mitjançant la desigualtat triangular, per què l'afirmació del senderista ésゲルimpossible.
4. d) El servei del 112 necessita instal·lar una antena d'emergències que es trobi a la mateixa distància exacta dels tres refugis. Anomena el punt notable del triangle que han de localitzar els tècnics i explica quines rectes han de traçar sobre el mapa per trobar-lo.