Exercicis: Polígons

Imagina que estàs dissenyant les icones per a una nova aplicació de mòbil. Perquè el disseny sigui net, el programador et demana que identifiquis quines d'aquestes figures són polígons i quines no. Justifica la teva resposta breument indicant quina característica falla en les figures que no ho són.

En el polígon següent, que representa la planta d'un petit traster, identifica i compta els elements següents:

• Nombre de vèrtexs.

• Nombre de costats.

• Nombre d'angles interiors.

• Traça una diagonal que uneixi el vèrtex $A$ amb el vèrtex $C$ (copia abans el polígon al teu quadern).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Classifica els polígons següents segons el seu nombre de costats utilitzant els noms tècnics corresponents (triangle, quadrilàter, pentàgon, etc.):

Un polígon és convex si tots els seus angles interiors són menors de $180^\circ$ i còncau si en té almenys un de major de $180^\circ$. Observa aquestes dues fletxes de senyalització i indica quina és còncava i quina és convexa.

Perquè un polígon sigui regular, ha de tenir tots els seus costats de la mateixa longitud i tots els seus angles iguals. Observa les figures següents d'un videojoc i determina quina d'elles compleix les condicions per ser un polígon regular.

Calcula el perímetre de la parcel·la de jardí següent si sabem que els seus costats mesuren les quantitats indicades en el dibuix. Recorda que el perímetre és la suma de les longituds de tots els seus costats.

Sabem que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre $180^\circ$. En el quadrilàter $ABCD$ de la figura s'ha traçat la diagonal $AC$ (línia discontínua), que el divideix en dos triangles: $ABC$ (en taronja) i $ACD$ (en blau). Basant-te en això, quant creus que sumaran els angles interiors de qualsevol quadrilàter? Justifica la teva resposta.

Una diagonal és un segment que uneix dos vértexs no consecutius d'un polígon. Fixa't en el pentàgon (5 costats) del dibuix i dibuixa totes les diagonals possibles que surtin des del vértex marcat en taronja. Quantes diagonals totals creus que té un pentàgon si les dibuixes totes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La Lucía vol calcular quant mesura cada angle interior d'un pentàgon regular per a una manualitat escolar i anota al seu quadern:

«Com que és un pentàgon, té $5$ costats. La suma dels seus angles interiors és $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Com que és regular, divideixo $900^\circ$ entre $5$ i obtinc que cada angle interior mesura $180^\circ$».

1. a) Troba els dos errors de raonament geomètric que ha comès la Lucía. Explica per què és impossible que un angle interior d'un polígon tancat mesuri $180^\circ$.
2. b) Corregeix el procediment i calcula el valor correcte de la suma dels angles interiors i la mesura de cada angle interior del pentàgon regular.

Construiràs una maqueta d'un senyal de trànsit de «STOP», que té forma d'octàgon regular.

1. a) Estima sense fer servir fórmules: Pensa en com es compara una cantonada recta ($90^\circ$) amb una línia recta o angle pla ($180^\circ$). En un octàgon regular, creus que els angles interiors seran aguts, rectes o obtusos? Estaran més a prop de $90^\circ$ o de $180^\circ$? Justifica la teva estimació qualitativa.
2. b) Comprova: Aplica la fórmula de l'angle interior d'un polígon regular per calcular el valor exacte de cadascun dels seus angles: $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Compara la teva estimació amb el resultat obtingut i explica si el valor numèric concorda amb la forma visual que té un senyal de STOP.

Un grup d'enginyers està dissenyant una nova antena de comunicacions amb forma d'heptàgon convex. Per assegurar l'estructura, necessiten col·locar cables de reforç que uneixin tots els vértexs entre si, però que no siguin els mateixos costats de l'antena. Quants cables de reforç (diagonals) hauran d'instal·lar en total? Dibuixa el polígon i traça totes les diagonals que surten des d'un únic vértex per ajudar-te a raonar.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un videojoc de construcció, un jugador ha dissenyat una parcel·la amb forma de quadrilàter irregular per col·locar un hort. En mesurar els angles interiors amb una eina del joc, obté els valors següents: $115^\circ$, $82^\circ$ i $96^\circ$. El quart angle està ocult per un error de la interfície. Calcula el valor d'aquest angle sabent que la suma dels angles interiors de qualsevol quadrilàter és sempre la mateixa.

Una pista d'skate té el perfil lateral que es mostra en el dibuix següent. Observa la figura i respon raonadament a les preguntes següents:

• Es tracta d'un polígon còncau o convex? Per què?

• Indica el nombre de costats, vértexs i diagonals totals que té aquest polígon.

El diafragma d'una càmera de fotos professional està format per làmines que, en tancar-se, deixen un forat amb forma d'octògon regular.

• Calcula quant mesura l'angle central d'aquest octògon.

• Calcula quant mesura cadascun dels seus angles interiors.

• Si la càmera tingués un diafragma de 10 costats (decàgon regular), l'angle central seria més gran o més petit? Justifica la teva resposta.

Un decorador està dissenyant un mosaic modern utilitzant peces amb forma de pentàgon regular. En intentar ajuntar tres peces en un mateix punt (vértex comú), se n'adona que queda un petit forat buit.

• Calcula la mida de l'angle interior d'un pentàgon regular.

• Sabent que una volta completa al voltant d'un punt són $360^\circ$, quants graus mesura el forat que queda lliure en ajuntar tres pentàgons?

Per a un projecte de robòtica, una placa metàl·lica ha de tenir la forma d'un hexàgon. El fabricant diu que la placa és "equiàngula" (tots els seus angles interiors són iguals), però no és "equilàtera" (els seus costats no mesuren el mateix).

• És aquest hexàgon un polígon regular? Raona la resposta basant-te en la definició.

• Si la placa té 6 costats, quant ha de sumar la mida de tots els seus angles interiors?

• Quin és el valor de cadascun dels seus angles interiors?

Vuit amics seuen al voltant d'una taula circular per jugar a un joc de rol. Cada jugador ha de tenir un "vincle màgic" (una corda de color) amb tots els altres jugadors de la taula, excepte amb els que té asseguts just al seu costat esquerre i dret. Si considerem que els jugadors són els vèrtexs d'un octàgon:

1. a) Quin element del polígon representen les cordes dels "vincles màgics"?

1. b) Calcula el nombre total de cordes que hi haurà sobre la taula.

A la figura s'han dibuixat, per al jugador P₁, els seus dos veïns (punts vermells, amb els quals no té vincle) i els seus vincles màgics (línies taronges).

Calcula el perímetre d'un pentàgon irregular sabent que té dos costats de $8\text{ cm}$ cadascun, uns altres dos costats que mesuren el doble que els anteriors, i un últim costat que mesura la meitat de la suma dels altres quatre. Seria possible que aquest pentàgon fos regular? Explica per què.

Un equip de disseny gràfic crea una nova rajola amb forma de quadrilàter còncau (amb aspecte de punta de fletxa) per decorar la paret d'un poliesportiu.

1. a) Quant han de sumar exactament els quatre angles interiors de qualsevol quadrilàter? Justifica-ho a partir del nombre de triangles en què es divideix des d'un dels seus vèrtexs.
2. b) El dissenyador ha decidit que l'angle interior còncau («l'entrant») mesuri $210^\circ$ i que els altres tres angles interiors restants tinguin exactament la mateixa mesura entre ells. Planteja el problema i calcula la mesura de cadascun d'aquests tres angles.
3. c) Raona si seria possible construir un quadrilàter que tingui dos angles interiors còncaus (és a dir, més grans de $180^\circ$ cadascun). Basa't en la suma total dels angles per justificar la teva resposta.

El servei de Parcs i Jardins d'un ajuntament a Espanya està dissenyant una zona de gespa amb forma de polígon convex. Per planificar la instal·lació dels aspersors, un tècnic observa que, des d'una de les cantonades (un únic vèrtex), es poden traçar exactament $4$ línies rectes cap a altres vèrtexs sense que siguin els costats del recinte (és a dir, exactament $4$ diagonals).

1. a) Modela la situació i dedueix quants costats té en total la parcel·la. Explica detalladament com es relaciona el nombre de diagonals que parteixen d'un vèrtex amb el nombre total de costats $n$.
2. b) El perímetre total de la parcel·la és de $49\text{ m}$ i els operaris han mesurat que tots els seus costats tenen la mateixa longitud. Es pot assegurar amb total certesa matemàtica que la zona de gespa és un polígon regular? Raona la teva resposta i posa un exemple de quadrilàter on tots els costats siguin iguals però la figura no sigui regular.
3. c) Si la parcel·la fos efectivament un polígon regular, quant mesuraria cada costat i quant sumaria el total dels seus angles interiors?

Un arquitecte està dissenyant una claraboia amb forma de polígon regular. Es sap que la suma de tots els seus angles interiors és d'exactament $1080^\circ$. Tanmateix, per un error de fabricació, un dels angles interiors ha resultat ser $5^\circ$ més gran del que hauria de ser.

1. Quants costats té la claraboia original?

2. Si la resta dels angles es mantenen iguals, quant mesura l'angle que ha sortit defectuós?

3. Segueix sent un polígon regular? Raona la teva resposta basant-te en la definició de polígon regular.

En un taller de joieria s'està dissenyant un penjoll unint dos tipus de peces: un hexàgon regular i sis triangles equilàters. Si el perímetre de l'hexàgon central és de $24 \text{ cm}$:

1. Quin és el perímetre total de la figura estrellada resultant?

2. Calcula el valor de l'angle interior de les puntes de l'estrella (els angles que no toquen l'hexàgon).

3. Si dupliquem el costat de l'hexàgon, què passa amb el perímetre total de l'estrella? Es duplica, es triplica o augmenta en una altra proporció?

Disposes de tres varetes rígides per construir un triangle. La primera mesura $15 \text{ cm}$ i la segona $8 \text{ cm}$. La longitud de la tercera és $x$.

1. a) Quina és la mesura mínima (en nombres enters de centímetres) que ha de tenir la tercera vareta per poder formar el triangle?

1. b) Quina és la mesura màxima (en nombres enters de centímetres) que podria tenir?

1. c) Si la tercera vareta mesurés exactament $17 \text{ cm}$, quin tipus de triangle obtindries segons els seus angles? (Pista: Comprova si es compleix la relació $a^2 = b^2 + c^2$).

Observa la figura següent, que representa un logotip format per un quadrat de costat $10 \text{ cm}$ al qual se li han "retallat" dos triangles a les cantonades superiors.

1. Classifica el polígon resultant (l'àrea ombrada) segons el seu nombre de costats i el seu tipus (còncau o convex).

2. Si els talls s'han fet just pels punts mitjans dels costats del quadrat, calcula el perímetre del nou polígon.

3. Quina és la suma dels angles interiors d'aquest nou polígon?

Un parc infantil té forma de pentàgon irregular. Els seus angles interiors són $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ i $90^\circ$.

1. Calcula la mida del cinquè angle.

2. És possible que aquest parc sigui un pentàgon convex? Justifica la teva resposta.

3. Si l'angle de $90^\circ$ es troba entre dos costats de $12 \text{ m}$ i $16 \text{ m}$, quant mesuraria el segment que uneix els extrems d'aquests dos costats? (Utilitza el teorema de Pitàgores).

En un quadrilàter qualsevol, sabem que les diagonals són perpendiculars i mesuren el mateix, però no es tallen en el seu punt mitjà.

1. De quina figura es tracta? Dibuixa un exemple aproximat.

2. Si les diagonals mesuren $14 \text{ cm}$, podem calcular l'àrea del quadrilàter encara que no sigui un rombe ni un quadrat? Si és així, calcula-la.

3. Investiga: Quin nom rep el quadrilàter que té dos parells de costats consecutius iguals (forma d'estel)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un equip de disseny gràfic vol crear una rajola amb forma d'hexàgon regular de costat $L$. Dins de l'hexàgon, tracen totes les diagonals que surten d'un mateix vértex.

1. En quants triangles queda dividit l'hexàgon?

2. Són aquests triangles iguals entre si? Classifica'ls segons els seus costats.

3. Si l'angle interior de l'hexàgon és de $120^\circ$, quant mesuren els angles de cadascun dels triangles formats?

Imagina un polígon regular on el valor del seu angle central és la quarta part del valor del seu angle interior.

1. Planteja una equació que relacioni l'angle central ($360/n$) i l'angle interior ($180 \cdot (n-2) / n$) per trobar el nombre de costats $n$.

2. Com es diu aquest polígon?

3. Quina és la suma dels seus angles exteriors? (Recorda que aquesta propietat és comuna a tots els polígons convexos).

Per deduir la suma dels angles interiors d'un heptàgon convex ($7$ costats) sense recórrer a la fórmula memoritzada, dos estudiants d'1r d'ESO proposen dues estratègies diferents:

• Mètode d'en Sergio: Tria un únic vèrtex de l'heptàgon i traça totes les diagonals possibles des d'ell, dividint el polígon en diversos triangles.

• Mètode de l'Alba: Situa un punt auxiliar a l'interior de l'heptàgon i l'uneix amb els $7$ vèrtexs, formant $7$ triangles que comparteixen aquest punt central.

1. a) Aplica el mètode d'en Sergio: indica quants triangles s'obtenen, calcula la suma total dels seus angles i justifica per què aquesta suma coincideix exactament amb la suma dels angles interiors de l'heptàgon.
2. b) Aplica el mètode de l'Alba: calcula la suma dels angles dels $7$ triangles formats i explica quina operació addicional cal fer amb els angles que envolten el punt interior per obtenir la suma dels angles de l'heptàgon.
3. c) Tria el mètode: Si haguessis d'explicar a un company com trobar la suma dels angles interiors d'un polígon de $100$ costats, quin dels dos mètodes triaries? Compara la senzillesa de tots dos raonaments i justifica la teva elecció analitzant les possibles despistades de cada camí.

En el disseny de voreres i passejos de vianants de diverses ciutats espanyoles s'empren rajoles amb forma de polígons regulars. Perquè un paviment cobreixi el terra completament sense deixar buits ni encavalcar-se en unir-se en un mateix vèrtex, la suma dels angles interiors que coincideixen en aquest vèrtex ha de ser exactament igual a $360^\circ$.

Un estudi d'urbanisme vol pavimentar una plaça i analitza tres propostes de rajoles regulars:

1. a) Proposta A (pentàgons regulars): Calcula la mesura de l'angle interior d'un pentàgon regular i demostra numèricament per què és impossible pavimentar la plaça utilitzant exclusivament aquest tipus de rajola.
2. b) Proposta B (hexàgons regulars): Calcula la mesura de l'angle interior d'un hexàgon regular i determina si permet enrajolar la plaça sense buits. En cas afirmatiu, quantes rajoles coincidiran exactament en cada vèrtex comú?
3. c) Proposta C (octàgons regulars): Un fabricant assegura que es pot pavimentar la plaça combinant octàgons regulars amb una altra figura regular més petita per omplir els buits que queden lliures. Calcula l'angle interior d'un octàgon regular, demostra que dos octàgons junts no completen el gir ni tres d'ells hi caben en un vèrtex, i dedueix quin tipus de polígon regular conegut encaixa exactament en el buit per sumar els $360^\circ$.