Exercicis: Nombres primers i descomposició factorial

En una convenció de col·leccionistes de cartes, s'han numerat els expositors del $10$ al $25$. Els organitzadors volen destacar els llocs que tenen un nombre primer amb un cartell taronja. Escriu la llista de tots els nombres de lloc que haurien de portar el cartell taronja.

El Crible d'Eratòstenes funciona com un filtre que deixa passar només els nombres primers. Si aboquem els nombres del $1$ al $10$ al filtre, explica per què el nombre $1$ no es considera primer i per què el nombre $9$ es queda atrapat al filtre dels nombres compostos.

A classe d'Educació Física, el professor vol organitzar els $13$ alumnes en files i columnes perfectes per fer un exercici (per exemple, $2$ files de $6$ persones).

1. a) Per què no ho pot fer amb $13$ alumnes de cap manera que no sigui una única fila de $13$?
2. b) Quin tipus de nombre és el $13$ segons els seus divisors?

Classifica els nombres següents a la taula segons siguin primers (només tenen dos divisors: el $1$ i ells mateixos) o compostos (tenen més de dos divisors):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

Observa la "torre de divisió" següent (descomposició factorial) i identifica els nombres que falten als buits perquè sigui correcta:

Descompon en factors primers el nombre $40$ utilitzant el mètode de la barra vertical i expressa el resultat com un producte de potències.

Ebrina de quin nombre es tracta en cada cas resolent les potències i multiplicant els factors:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

El nombre $12$ es pot representar de forma rectangular de diverses maneres (per exemple, $2 \times 6$ o $3 \times 4$). Tanmateix, un nombre primer només pot formar una fila.

Observa el dibuix i descompon factorialment el nombre de punts totals que formen el rectangle:

La Sofía vol esbrinar si el nombre $91$ és primer. Per comprovar-ho, aplica els criteris de divisibilitat més habituals: observa que no és parell (per tant, no és divisible entre $2$), que les seves xifres sumen $9 + 1 = 10$, que no és múltiple de $3$ (per tant, no és divisible entre $3$), i que no acaba ni en $0$ ni en $5$ (per tant, no és divisible entre $5$). Amb aquestes dades, la Sofía conclou a la seva llibreta: «Com que no és divisible ni entre 2, ni entre 3, ni entre 5, el 91 és un nombre primer».

1. a) Localitza i explica l'error de raonament que ha comès la Sofía segons la regla per determinar si un nombre és primer.
2. b) Indica quina comprovació li va faltar fer a la Sofía abans de donar la seva resposta i justifica per què era imprescindible fer-la.
3. c) Corregeix l'exercici: determina si el nombre $91$ és primer o compost i, si és compost, escriu la seva descomposició en factors primers.

Vols comprovar si el nombre $173$ és primer o compost sense fer divisions innecessàries.

1. a) Estima el valor de $\sqrt{173}$ indicant entre quins dos nombres enters consecutius es troba (pista: pensa en els quadrats perfectes més propers a $173$).
2. b) A partir de la teva estimació, escriu la llista completa i ordenada dels nombres primers entre els quals és estrictament necessari comprovar la divisibilitat. Quantes divisions hauràs de fer com a màxim?
3. c) Fes les divisions necessàries i determina si $173$ és primer o compost. Justifica per què pots aturar el procés sense necessitat de provar amb nombres primers més grans.

Classifica els nombres següents en primers o compostos raonant la teva resposta mitjançant els criteris de divisibilitat. Per als nombres compostos, indica almenys un divisor diferent d'$1$ i de si mateix:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Fes la descomposició en factors primers (factorització) dels nombres següents utilitzant el mètode de la barra vertical. Expressa el resultat final utilitzant potències quan sigui possible:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

En una classe de matemàtiques, el professor diu que per saber si un nombre més petit que $100$ és primer, n'hi ha prou amb comprovar que no és divisible per $2, 3, 5$ i $7$.

Raona per què no cal comprovar si és divisible per $11$ o per altres nombres primers més grans. Aplica aquesta idea per comprovar si el nombre $97$ és primer.

Troba tots els divisors dels nombres següents utilitzant la seva descomposició factorial. Mostra el procés de combinació de factors:

1. a) $28$
2. b) $42$

Nerea té una col·lecció de monedes antigues. Si les agrupa de $6$ en $6$, li'n sobren $3$. Si les agrupa de $10$ en $10$, també li'n sobren $3$.

Sabent que té més de $50$ monedes però menys de $80$, quantes monedes té exactament Nerea a la seva col·lecció? (Pista: relaciona el problema amb el concepte de mínim comú múltiple).

Completa els buits en aquest arbre de factors del nombre $120$. Recorda que cada branca ha d'acabar en un nombre primer perquè la descomposició sigui completa. Escriu després el resultat final utilitzant potències.

De vegades, per descompondre nombres acabats en zero, podem fer servir "dreceres" mentals. Per exemple, sabem que $10 = 2 \cdot 5$, així que cada zero final aporta un factor $2$ i un factor $5$.

Factoritza els nombres següents utilitzant aquest truc per estalviar passos a la ratlla vertical (pots treure d'un cop cada zero final anotant $2 \cdot 5$ a la dreta):

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

Troba tots els divisors del nombre $N$ sabent que la seva descomposició factorial és $N = 2^2 \cdot 13$. És $N$ un nombre compost o primer? Justifica la teva resposta basant-te en la definició d'aquests tipus de nombres.

Dos companys de classe, l'Hugo i la Valeria, discuteixen sobre la manera més ràpida i segura d'esbrinar si el nombre $221$ és primer o compost:

• Mètode de l'Hugo: proposa comprovar un a un tots els nombres imparells des del $3$ fins al $110$ (la meitat aproximada de $221$).

• Mètode de la Valeria: calcula mentalment que $\sqrt{221} \approx 14{,}8$ i afirma que només cal provar de dividir $221$ entre els nombres primers menors o iguals que $14$ (és a dir: $2, 3, 5, 7, 11$ i $13$).

1. a) Compara els dos mètodes: quantes divisions hauria de fer l'Hugo en comparació amb les que necessita la Valeria? Explica per què la Valeria descarta amb raó els nombres compostos com el $9$.
2. b) Explica el fonament matemàtic del mètode de la Valeria: per què és impossible que $221$ tingui un divisor més gran que $14$ si no se li troba cap divisor menor que $14$?
3. c) Aplica el mètode de la Valeria per classificar el nombre $221$ en primer o compost.

En una prova de cros dels Jocs Esportius Escolars d'una comunitat autònoma participen $119$ atletes de categoria infantil. L'organització vol dividir els atletes en sèries classificatòries iguals, de manera que a cada sèrie competeixi el mateix nombre de corredors, amb més d'$1$ corredor per sèrie i sense que hi hagi una única sèrie amb tots els participants.

L'àrbitre principal assegura que és impossible fer grups iguals perquè «el nombre 119 no és parell ni acaba en 0 o 5, així que segur que és primer».

1. a) Modela la situació mitjançant divisibilitat: tradueix l'afirmació de l'àrbitre i la necessitat de l'organització a una condició sobre els divisors de $119$.
2. b) Aplica el criteri de comprovació de nombres primers (acotant $\sqrt{119}$) per demostrar si l'àrbitre té raó o si s'equivoca.
3. c) Si és possible organitzar les sèries, indica totes les maneres diferents en què es poden agrupar els atletes, detallant el nombre de sèries i la quantitat de corredors per sèrie.

Un nombre natural $N$ té la particularitat següent: la seva descomposició en factors primers és de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabem que si multipliquem $N$ per $2$, el nombre dels seus divisors augmenta en $3$, i si el multipliquem per $3$, el nombre dels seus divisors augmenta en $4$.

Calcula el valor dels exponents $a$ i $b$, i troba el nombre $N$.

Per comprovar si el nombre $601$ és primer, un estudiant afirma que només necessita dividir-lo pels nombres primers menors que $25$.

1. a) Justifica per què l'estudiant ha triat el nombre $25$ com a límit.
2. b) Fes les divisions necessàries seguint el seu raonament i determina si $601$ és primer o compost.
3. c) Quin és el nombre primer més gran que hauries de provar per saber si $1009$ és primer?

Un nombre "perfecte" és aquell que és igual a la suma de tots els seus divisors propis (tots els seus divisors excepte ell mateix). Per exemple, el $6$ és perfecte perquè els seus divisors propis són $1, 2$ i $3$, i $1 + 2 + 3 = 6$.

1. a) Comprova si el nombre $28$ és un nombre perfecte.

1. b) El següent nombre perfecte és més gran que $400$ i més petit que $500$. Sabent que és múltiple de $16$ i de $31$, utilitza la descomposició factorial per trobar-lo.

En ciberseguretat, s'utilitzen nombres primers molt grans per crear claus. Suposem que una clau de seguretat es genera multiplicant dos nombres primers diferents, $p$ i $q$. El resultat és $N = p \cdot q$.

Si sabem que $N = 1591$ i que un dels nombres primers és proper a l'arrel quadrada de $N$:

1. a) Troba els valors de $p$ i $q$.
2. b) Quants divisors totals té el nombre $N$? Justifica la teva resposta sense llistar-los.

Al laboratori de matemàtiques han deixat una descomposició factorial incompleta a la pissarra. Ajuda a reconstruir-la sabent que el nombre original és més petit que $500$.

Calcula el valor del nombre original $X$, el quocient intermedi $Y$ i el factor primer $P$ sabent que $P$ és el nombre primer més petit possible que fa que $X$ sigui múltiple de $3$.

Troba el nombre més petit que té exactament $6$ divisors, sabent que en la seva descomposició factorial només apareixen els dos primers nombres primers. Explica el teu raonament analitzant els exponents de la seva descomposició.

L'àrea d'un jardí rectangular és de $252$ $m^2$. Si sabem que les mesures dels seus costats (en metres) són nombres naturals i que el costat més llarg és múltiple de $3$ i de $7$, però no de $2$, utilitza la descomposició factorial del nombre $252$ per trobar totes les possibles dimensions del jardí.

Dats els nombres $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ i $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Sense calcular el valor numèric de $A$ ni de $B$, respon raonadament:

1. a) És el producte $A \cdot B$ divisible per $55$?
2. b) És el producte $A \cdot B$ un múltiple de $54$?
3. c) Quina és la descomposició factorial del nombre que resulta de fer $M.C.D.(A, B)$?

Busquem un nombre natural desconegut $N$ que compleix simultàniament tres condicions:

1. La seva descomposició factorial només conté els dos nombres primers imparells més petits.

2. Té exactament $6$ divisors positius diferents.

3. És estrictament menor que $100$ ($N < 100$).

1. a) Dedueix algebraicament quines possibles formes pot tenir la descomposició factorial de qualsevol nombre que tingui exactament $6$ divisors i només dos factors primers diferents $p$ i $q$. Recorda que si un nombre es descompon com a $p^a \cdot q^b$, la seva quantitat total de divisors és $(a + 1) \cdot (b + 1)$.
2. b) Identifica quins són els dos factors primers concrets $p$ i $q$ del nostre problema.
3. c) Troba tots els nombres naturals $N$ que compleixen totes les condicions donades. Per a cada solució que trobis, comprova el resultat escrivint la llista ordenada de tots els seus divisors.

El responsable de seguretat d'un centre cívic programa la clau numèrica de tres xifres $C$ del magatzem de material esportiu. Perquè sigui fàcil de recordar mitjançant deducció matemàtica, la clau s'ha dissenyat amb les pistes següents:

1. La clau $C$ és el producte de tres nombres primers consecutius: $C = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ (ordenats de menor a major).

2. La suma d'aquests tres nombres primers consecutius és exactament $23$, és a dir, $p_1 + p_2 + p_3 = 23$.

3. Si al nombre de la clau li sumem $5$ unitats, el nou nombre obtingut ($C + 5$) és divisible simultàniament per $2$, per $3$ i per $5$, però no és divisible per $9$.

1. a) Planteja una cerca ordenada entre els nombres primers per trobar $p_1$, $p_2$ i $p_3$. A partir d'aquests, calcula el valor numèric de la clau $C$.
2. b) Comprova que el valor obtingut per a $C$ compleix rigorosament la tercera pista analitzant el nombre $C + 5$ mitjançant criteris de divisibilitat (sense fer divisions llargues).
3. c) Raona, a partir dels exponents de la descomposició en factors primers de $C$, quants divisors té en total la clau. Es tracta d'un nombre primer o compost?