Exercicis: Màxim comú divisor

Calcula tots els divisors dels nombres $12$ i $18$. Després, indica quins són els divisors comuns i assenyala quin d'ells és el Màxim Comú Divisor (MCD).

Pots ajudar-te d'un diagrama com el de la figura: escriu a cada cercle els divisors de cada nombre i, a la zona on es creuen, els que són comuns.

Observa les descomposicions factorials d'aquests dos nombres i troba el seu $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Recorda la regla pedagògica: "Per al MCD, agafem els factors comuns elevats al menor exponent".

Calcula mentalment el $MCD$ de les parelles de nombres següents. Són nombres petits on pots identificar el divisor comú més gran d'un cop d'ull:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

Què tenen en comú tots aquests resultats?

Al taller de tecnologia, els alumnes tenen dos llistons de fusta de $36$ cm i $48$ cm de longitud. Necessiten tallar-los en trossos de la mateixa longitud, i aquesta ha de ser la màxima possible.

1. a) Quina serà la longitud de cada tros?
2. b) Quants trossos obtindran en total dels dos llistons?

En una biblioteca volen organitzar $45$ llibres d'aventures i $60$ llibres de ciència-ficció en prestatges, de manera que a cada prestatge hi hagi el mateix nombre de llibres i que aquest sigui el màxim possible.

1. a) Quants llibres posaran a cada prestatge?
2. b) Quants prestatges faran servir per als llibres d'aventures i quants per als de ciència-ficció?

En Lucas ha de calcular el màxim comú divisor de $72$ i $120$. A la seva llibreta fa la descomposició factorial i escriu el següent:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$M.C.D.(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$

Quan la seva professora li pregunta pel procediment, en Lucas argumenta: «He triat els factors amb l'exponent més gran i també els no comuns perquè la regla es diu màxim divisor, així que el resultat ha de ser el divisor més gran possible».

1. a) Sense necessitat de refer els càlculs, explica raonadament per què el resultat $360$ és absurd i impossible com a divisor de $72$ i de $120$.
2. b) Quin concepte matemàtic ha calculat realment en Lucas per error en aplicar aquesta regla?
3. c) Corregeix la resolució d'en Lucas: explica quin és el criteri correcte per seleccionar els factors primers en el càlcul del M.C.D. i calcula el valor correcte de $M.C.D.(72, 120)$.

Calcularàs el màxim comú divisor de dos nombres: $48$ i $72$.

1. a) Abans d'operar, raona els límits del resultat: podria ser el M.C.D. igual a $96$? I podria ser igual a $48$? Explica per què el M.C.D. de dos nombres mai pot ser més gran que el menor d'ells.
2. b) Sabent que tots dos nombres són parells (divisibles per $2$) i que la suma de les xifres de tots dos és múltiple de $3$ (divisibles per $3$), estima quin dels quatre valors següents és el candidat més raonable per ser el M.C.D. abans de descompondre: $5$, $12$, $24$ o $36$. Justifica per què descartes els altres tres.
3. c) Descompon $48$ i $72$ en factors primers, calcula amb exactitud el $M.C.D.(48, 72)$ i comprova si la teva estimació de l'apartat anterior era correcta.

Calcula el Màxim Comú Divisor ($M.C.D.$) dels grups de nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers:

1. a) $48$ i $72$
2. b) $30, 45$ i $60$
3. c) $120$ i $150$

A l'institut s'ha organitzat una jornada de convivència. Hi ha $54$ alumnes de 1r ESO i $42$ alumnes de 2n ESO. Es volen formar equips de manera que cada equip estigui format només per alumnes del mateix curs (no es barregen alumnes de 1r i de 2n). Tots els equips han de tenir exactament el mateix nombre de persones, i aquest nombre ha de ser el màxim possible sense que sobri ningú.

1. a) Quants alumnes hi haurà en cada equip?

1. b) Quants equips de 1r ESO i quants de 2n ESO es formaran?

Observa les descomposicions factorials següents de tres nombres i, sense fer les multiplicacions, indica quin és el seu $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Es diu que dos nombres són primers entre si si el seu únic divisor comú és el $1$. Comprova si les parelles de nombres següents són primeres entre si calculant el seu $M.C.D.$:

1. a) $14$ i $15$
2. b) $22$ i $33$
3. c) $21$ i $25$

Per a un banc d'aliments, un supermercat dona $36$ pots de llegums, $48$ caixes de llet i $60$ paquets d'arròs. Volen preparar el nombre més gran possible de bosses iguals per repartir, de manera que a cada bossa hi hagi el mateix nombre de productes de cada tipus.

1. a) Quantes bosses podran preparar com a màxim?
2. b) Què contindrà cada bossa?

Inventa dos nombres naturals diferents, $a$ i $b$, de manera que es compleixi la condició següent:

$M.C.D.(a, b) = 12$

Raona la teva resposta mostrant la descomposició factorial dels nombres triats.

Per calcular el màxim comú divisor disposes de dues estratègies principals:

• Mètode 1 (Llistat de divisors): Escriure tots els divisors de cada nombre, identificar els que coincideixen i triar el més gran.

• Mètode 2 (Factorització primera): Descompondre en factors primers i multiplicar només els factors comuns amb el seu exponent menor.

Es plantegen dues situacions de càlcul:

• Cas A: Trobar el $M.C.D.(15, 25)$.

• Cas B: Trobar el $M.C.D.(210, 294)$.

1. a) Per al Cas A, quin mètode tries perquè és més directe i requereix menys passos? Aplica'l i troba el resultat.
2. b) Per al Cas B, explica detalladament per què el Mètode 1 resultaria llarg, tediós i amb un risc alt d'oblidar divisors respecte al Mètode 2.
3. c) Resol el Cas B aplicant el Mètode 2 pas a pas: mostra la descomposició de $210$ i de $294$, indica quins factors selecciones i calcula el $M.C.D.(210, 294)$.

En una almàssera cooperativa de Jaén han finalitzat la collita amb dos dipòsits especials d'oli d'oliva verge extra: un conté $420$ litres de varietat Picual i l'altre conté $300$ litres de varietat Arbequina. Per comercialitzar-lo en botigues gurmet, volen envasar tot l'oli en garrafes idèntiques amb la major capacitat possible en litres enters, de manera que totes les garrafes siguin iguals, no es barregi cap varietat en un mateix envàs i no sobri gens d'oli als dipòsits.

1. a) Modela matemàticament el problema: identifica quin concepte de divisibilitat representa la capacitat de les garrafes i calcula quants litres ha de contenir cadascuna.
2. b) Quantes garrafes d'oli Picual i quantes d'Arbequina s'ompliran en total?
3. c) Si per normativa de manipulació de pes en el transport s'estableix que cap garrafa pot superar els $25$ litres, és vàlid el repartiment anterior? Si no ho és, utilitza els divisors comuns de les dues quantitats per determinar quina seria la major capacitat permesa per garrafa que continuï complint totes les condicions originals.

Una artista urbana vol dissenyar un mural en una paret rectangular que mesura $210$ cm d'alçada per $165$ cm d'amplada. Per al seu disseny, vol dividir tota la paret en quadrats iguals, de manera que aquests siguin el més grans possible i no hagi de tallar cap peça.

1. a) Quant ha de mesurar el costat de cada quadrat per cobrir tota la paret?
2. b) Quants quadrats tindrà el mural en total?

Estem buscant el nombre més gran possible que, en dividir els nombres $159$ i $195$, deixi en tots dos casos un residu de $3$ unitats. Raona els passos que segueixes per trobar-lo utilitzant el concepte de Màxim Comú Divisor.

Sabem que el màxim comú divisor de dos nombres és $12$ i que un d'aquests nombres és el $48$. Si l'altre nombre és més gran que $50$ però més petit que $70$:

1. a) Troba quin és aquest segon nombre.
2. b) Justifica la teva resposta utilitzant la descomposició en factors primers.

Un jardiner vol envoltar un hort rectangular de $90$ metres de llargada i $126$ metres d'amplada amb posts per a una tanca. El propietari de l'hort li ha demanat que col·loqui un post a cada cantonada i que la distància entre post i post sigui sempre la mateixa i la més gran possible.

1. a) Quina distància ha de deixar entre cada post?
2. b) Quants posts necessitarà en total per envoltar tot el perímetre de l'hort?

Un laboratori farmacèutic necessita empaquetar dos tipus de comprimits, $A$ i $B$, en blísters idèntics. No coneixem la quantitat exacta de comprimits de cada tipus, però els registres de control indiquen que compleixen estrictament les cinc condicions següents:

1. Tots dos són nombres de dues xifres ($A < 100$ i $B < 100$).

2. El seu màxim comú divisor és $15$: $M.C.D.(A, B) = 15$.

3. Cap dels dos nombres és múltiple de l'altre (és a dir, $A$ no divideix $B$ ni $B$ divideix $A$).

4. La quantitat $A$ és un nombre parell i la quantitat $B$ és un nombre senar.

5. La suma de tots dos nombres és exactament de $135$ pastilles ($A + B = 135$).

1. a) Si $M.C.D.(A, B) = 15$, podem escriure $A = 15 \cdot a$ i $B = 15 \cdot b$. Dedueix quina condició matemàtica imprescindible han de complir els nombres $a$ i $b$ entre si, i quant ha de valer la suma $a + b$.
2. b) Troba els valors exactes d'$A$ i de $B$, comprovant el compliment de les cinc condicions.
3. c) Demostra de manera raonada per què no existeix cap altra parella de nombres que compleixi totes les condicions de l'enunciat.

Durant un debat sobre propietats numèriques a l'aula, dos estudiants fan les afirmacions següents:

• La Marta afirma: «Si dos nombres són compostos (és a dir, cap d'ells és primer), ésGroup impossible que siguin primers entre si, perquè com que tenen diversos divisors sempre en compartiran algun de més gran que $1$».

• En Sergio afirma: «Si prenem dos nombres qualssevol que siguin primers entre si, en sumar-los $1$ a tots dos nombres, la nova parella resultant continuarà sent sempre primera entre si».

1. a) Analitza l'afirmació de la Marta. Recorda què significa la definició de «nombres primers entre si» i demostra que la seva afirmació és falsa proposant un contraexemple amb dos nombres compostos menors que $30$. Calcula el seu M.C.D. per justificar-ho.
2. b) Analitza l'afirmació d'en Sergio. Demostra que la seva afirmació també és falsa trobant una parella de nombres $x$ i $y$ que siguin primers entre si ($M.C.D.(x, y) = 1$), però tals que $x + 1$ i $y + 1$ tinguin un divisor comú més gran que $1$.
3. c) Raona i demostra la següent propietat teòrica: si prenem dos nombres naturals consecutius qualssevol ($n$ i $n + 1$), quin és sempre el seu M.C.D.? (Pista: pensa quina relació hi ha entre la diferència de dos nombres i els divisors que poden compartir).

Repte del tema. Organitza una donació solidària a casa teva!

1. Recollida i criteris: Compta dos tipus d'aliments no peribles del teu rebost (per exemple, $A$ llaunes i $B$ brics, amb $A, B \ge 18$). Identifica els seus divisors i múltiples immediats, i comprova si compleixen els criteris de divisibilitat del $2$, $3$ i $5$.

2. FAC, mcd i mcm: Realitza la descomposició en factors primers (FAC) d'$A$ i $B$. Troba el $\text{mcd}(A, B)$ per crear el màxim nombre de lots idèntics sense malbaratament, i el $\text{mcm}(A, B)$ per preveure cada quants dies s'esgotaran alhora els dos productes (si consumeixes una unitat de cadascun al dia i en repones la mateixa quantitat quan s'acaben).

3. Equacions i DIV: Planteja i resol una equació de primer grau per calcular quantes llaunes addicionals $x$ has de comprar per omplir $6$ caixes completes: $A + x = 6 \cdot k$ (triant el múltiple superior més proper). Verifica l'algorisme de la divisió sencera ($D = d \cdot c + r$) i calcula el pressupost si cada llauna costa $1,25\text{ €}$.

4. Producte final: Dissenya un full de càlcul amb les taules de dades, fórmules de divisibilitat i una proposta raonada per al banc d'aliments.

Es valorarà:

• Aplicació rigorosa de criteris de divisibilitat i descomposició factorial (FAC).

• Resolució contextualitzada de $\text{mcd}$ i $\text{mcm}$.

• Plantejament algebraic de l'equació i ús correcte de la divisió sencera (DIV).

• Estructura, fórmules i claredat en el full de càlcul.