Máximo común divisor

Calcula todos los divisores de los números $12$ y $18$. Después, indica cuáles son los divisores comunes y señala cuál de ellos es el Máximo Común Divisor (MCD).

Calcula mentalmente el $MCD$ de las siguientes parejas de números. Son números pequeños donde puedes identificar el divisor común mayor de un vistazo:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

¿Qué tienen en común todos estos resultados?

Observa las descomposiciones factoriales de estos dos números y halla su $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Recuerda la regla pedagógica: "Para el MCD, tomamos los factores comunes elevados al menor exponente".

Calcula el Máximo Común Divisor ($M.C.D.$) de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $48$ y $72$
2. b) $30, 45$ y $60$
3. c) $120$ y $150$

Observa las siguientes descomposiciones factoriales de tres números y, sin realizar las multiplicaciones, indica cuál es su $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Se dice que dos números son primos entre sí si su único divisor común es el $1$. Comprueba si las siguientes parejas de números son primos entre sí calculando su $M.C.D.$:

1. a) $14$ y $15$
2. b) $22$ y $33$
3. c) $21$ y $25$

En el taller de tecnología, los alumnos tienen dos listones de madera de $36$ cm y $48$ cm de longitud. Necesitan cortarlos en trozos de la misma longitud, siendo esta la máxima posible.

1. a) ¿Cuál será la longitud de cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos obtendrán en total de los dos listones?

En el instituto se ha organizado una jornada de convivencia. Hay $54$ alumnos de 1º ESO y $42$ alumnos de 2º ESO. Se quieren formar equipos mixtos (todos de la misma clase o mezclados, según decida el tutor) pero con la condición de que todos los equipos del instituto tengan exactamente el mismo número de personas y que este número sea el máximo posible sin que sobre nadie.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de 1º ESO y cuántos de 2º ESO se formarán?

Para un banco de alimentos, un supermercado dona $36$ botes de legumbres, $48$ cajas de leche y $60$ paquetes de arroz. Quieren preparar el mayor número posible de bolsas iguales para repartir, de manera que en cada bolsa haya el mismo número de productos de cada tipo.

1. a) ¿Cuántas bolsas podrán preparar como máximo?
2. b) ¿Qué contendrá cada bolsa?