Funzione con radicali

Determina il dominio di definizione della seguente funzione con radice di indice pari:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Determina il dominio della funzione quadratica sotto radice quadrata:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Calcola il dominio della funzione che contiene una radice di indice pari al denominatore:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Calcola il dominio di definizione della funzione con radice di indice dispari:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Determina il dominio della funzione irrazionale che contiene un'espressione razionale:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determina il dominio di definizione della funzione formata dalla somma di due radici:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Determina il dominio di definizione della funzione annidata:

$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$

Risolvi la disequazione associata al dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ ed esprimilo in forma di intervallo.

Considera la famiglia di funzioni con radice annidata definita da:

dove $k$ è un parametro reale costante.

1. a) Dimostra formalmente che se $k < 0$, il dominio della funzione è l'insieme vuoto ($\text{Dom}(f_k) = \emptyset$). Analizza poi che cosa accade nel caso limite $k = 0$: il dominio è ancora vuoto o è formato da punti isolati? Giustifica la risposta risolvendo le disequazioni corrispondenti.
2. b) Per qualsiasi valore fissato $k > 0$, deduci l'espressione generale del dominio di $f_k(x)$ in funzione di $k$, esprimendolo come unione di due intervalli chiusi simmetrici rispetto all'origine delle coordinate.
3. c) (Problema inverso) Determina con ragionamento il valore esatto del parametro $k > 0$ necessario affinché il dominio della funzione sia formato da due intervalli chiusi disgiunti la cui lunghezza totale combinata (somma delle ampiezze dei due intervalli) sia esattamente uguale a $6$ unità.

A partire dalla funzione $f(x) = \sqrt{x}$, scrivi l'espressione analitica della funzione $g(x)$ il cui grafico si ottiene traslando $f(x)$ di tre unità verso sinistra e di due unità verso l'alto. Qual è il dominio di $g(x)$?

Determina il dominio e il codominio della funzione con coefficiente principale negativo:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

Osserva il grafico allegato che rappresenta una funzione della forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ sapendo che il vertice della semiparabola si trova nel punto $(2, 1)$ e che passa per il punto $(6, -3)$.

Trova le intersezioni con gli assi coordinati della funzione:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

Calcola i punti di intersezione tra la funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ e la funzione affine $g(x) = x + 1$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ restringendo il dominio originale all'intervallo $(-\infty, 0]$. Indica chiaramente il dominio e il codominio della funzione inversa ottenuta.

La relazione tra l'area $A$ di un cerchio e il suo raggio $r$ è data dalla formula $A = \pi r^2$. Esprimi il raggio in funzione dell'area, $r(A)$, e indica il dominio di definizione valido in questo contesto geometrico.

Il periodo $T$ (in secondi) di un pendolo semplice si può approssimare mediante la funzione $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, dove $L$ è la lunghezza del pendolo in metri. Calcola la lunghezza necessaria affinché il periodo sia esattamente di $2$ secondi e indica il dominio teorico della funzione $T(L)$ in questo contesto fisico.

Nella teoria della relatività ristretta, il fattore di Lorentz $\gamma$ dipende dalla velocità $v$ di un oggetto secondo la funzione $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto (circa $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina il dominio della funzione $\gamma(v)$ e interpreta fisicamente che cosa accade alla funzione quando $v$ si avvicina agli estremi di tale dominio.