Distanze nel piano

Calcola la distanza esatta tra i punti $A(3, -2)$ e $B(-1, 1)$.

Calcola la distanza del punto $P(-4, 7)$ dall'asse delle ordinate e dall'asse delle ascisse.

Verifica se il triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 3)$ è isoscele calcolando la lunghezza esatta dei suoi tre lati.

Dato il segmento di estremi $A(2, 4)$ e $B(6, -2)$, calcola prima le coordinate del suo punto medio $M$ e, successivamente, determina la distanza di $M$ dall'estremo $A$.

Trova la distanza dall'origine degli assi alla retta di equazione $3x - 4y + 10 = 0$.

Determina la distanza del punto $P(2, 5)$ dalla retta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calcola la distanza del punto $Q(-1, 3)$ dalla retta data in forma esplicita $y = 2x - 1$.

Marco deve calcolare la distanza del punto $P(-2, 3)$ dalla retta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Nella sua verifica scrive il seguente procedimento:

1. a) Individua e spiega in modo motivato i due gravi errori concettuali commessi da Marco nella sua risoluzione.
2. b) Correggi l'esercizio eseguendo il calcolo corretto ed esprimi la distanza esatta con il denominatore razionalizzato.

Si considerano il punto $P(2, 4)$ e la retta $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Senza applicare ancora la formula della distanza di un punto da una retta, calcola le coordinate del punto $Q \in r$ che ha la stessa ascissa di $P$ (cioè, con $x = 2$). Determina la distanza verticale tra $P$ e $Q$, e spiega geometricamente perché si sa con assoluta certezza che $d(P, r) \le d(P, Q)$, poiché questo valore costituisce un limite superiore della distanza reale.
2. b) Calcola il valore esatto di $d(P, r)$ mediante la formula generale e verifica se la tua stima e il limite del punto precedente erano corretti e coerenti.

Una cometa attraversa un sistema stellare seguendo una traiettoria rettilinea di equazione $3x + y - 6 = 0$. Un satellite di osservazione si trova fermo nelle coordinate $S(2, 4)$. Calcola la distanza minima a cui la cometa passerà dal satellite.

Un'unità tecnica di RFI monitora un tratto rettilineo di linea ferroviaria che, su una griglia topografica con coordinate in chilometri, segue la retta $r: 3x - 4y + 12 = 0$. È stata installata una stazione base di telecomunicazioni nel punto $T(6, 2)$.

1. a) Modellizza la situazione calcolando la distanza minima esatta in chilometri tra la stazione base e la linea ferroviaria.
2. b) Il protocollo di sicurezza ferroviaria stabilisce una fascia di esclusione di $2\text{ km}$ per lato rispetto all'asse della linea, nella quale non possono esserci apparecchiature prive di schermatura elettromagnetica. Stabilisci in modo motivato se la stazione $T$ necessita di tale schermatura o se si trova fuori dalla fascia.
3. c) Dalla stazione $T$ è previsto il lancio di un drone di ispezione con un'autonomia massima di radiocollegamento di $5\text{ km}$. Giustifica geometricamente se il drone può raggiungere qualche punto della linea ferroviaria e spiega quanti punti della linea si trovano esattamente a $5\text{ km}$ dalla base.

Trova la distanza che separa le rette parallele $r: 3x + 4y - 5 = 0$ e $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Due barche seguono rotte rettilinee e parallele. La prima barca naviga lungo la retta $r: x - 2y + 4 = 0$. La seconda barca passa per il punto $A(3, 1)$ mantenendo la stessa direzione. Calcola la distanza minima che separa le due traiettorie.

Un laser industriale deve eseguire un taglio principale su una lastra metallica seguendo la retta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Inoltre, il sistema deve essere programmato per eseguire due tagli paralleli di sicurezza a una distanza esatta di $10$ mm da ciascun lato del taglio principale. Determina le equazioni generali delle rette dei tagli di sicurezza.

Calcola i possibili valori del parametro $c$ sapendo che le rette parallele $r: 2x - y + c = 0$ e $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distano tra loro $3\sqrt{5}$ unità.

Per calcolare la distanza tra le due rette parallele $r: 3x - 4y + 7 = 0$ e $s: 6x - 8y - 11 = 0$, si propongono tre metodi di lavoro:

• Metodo A (Definizione): Prendere un punto arbitrario $P \in r$ e calcolare $d(P, s)$ mediante la formula della distanza di un punto da una retta.

• Metodo B (Proiezione ortogonale): Tracciare una retta perpendicolare comune a entrambe, determinare i punti di intersezione $M \in r$ e $N \in s$, e calcolare il modulo del vettore $\vec{MN}$.

• Metodo C (Formula semplificata): Moltiplicare l'equazione di $r$ per $2$ per uguagliare i coefficienti $A$ e $B$ a quelli di $s$, e applicare direttamente l'espressione $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Applica il Metodo A e il Metodo C risolvendoli entrambi per intero, e verifica che forniscono esattamente lo stesso risultato.
2. b) Dimostra algebricamente la validità della formula del Metodo C: prendi una retta generica $r: Ax + By + C_1 = 0$, scegli su di essa un punto generico $P(x_0, y_0)$ che soddisfi $Ax_0 + By_0 = -C_1$, e calcola $d(P, s)$ rispetto a $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Confronta criticamente i tre metodi: indica quale è il più efficiente nella pratica, quale comporta il maggior rischio di errore per l'accumulo di calcoli e perché il Metodo B risulta inutilmente laborioso per questo scopo.

Una squadra di topografia ha delimitato un terreno triangolare le cui stazioni base si trovano nelle coordinate $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ e $C(4, 6)$, espresse in chilometri. Calcola l'area esatta del terreno determinando prima la lunghezza della base $AB$ e poi l'altezza corrispondente dal vertice $C$.

Un pannello solare ha la forma di un quadrilatero con vertici nelle coordinate $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ e $D(0, 3)$, misurate in metri. Calcola il perimetro esatto del pannello.

Un triangolo isoscele ha il lato diverso (la base) sulla retta $r: x + y - 2 = 0$. Il vertice opposto alla base è $A(4, 4)$ e si sa che l'area del triangolo è $12$ u$^2$. Calcola la lunghezza esatta della base e dei due lati uguali.

Determina le coordinate dei vertici di un quadrato sapendo che uno dei suoi vertici è $A(1, 2)$ e che una delle sue diagonali è contenuta nella retta $d: x - y - 1 = 0$.

Un rombo ha un vertice nel punto $A(2, 1)$ e la diagonale che non passa per $A$ si trova sulla retta $r: x + 2y - 9 = 0$. Se l'area del rombo è $20$ u$^2$, determina le coordinate dei tre vertici restanti.

Si vuole installare un'antenna di telecomunicazioni su una strada rettilinea che coincide con l'asse delle ascisse. Questa antenna deve trovarsi esattamente alla stessa distanza dal paese $P(-2, 3)$ e dal paese $Q(4, 1)$. In quali coordinate esatte deve essere collocata l'antenna?

In un parco, il centro di una piazza si trova nel punto $P(0, 5)$. Una tubazione rettilinea di irrigazione segue la traiettoria $y = x + 1$. Si vuole installare sulla tubazione un irrigatore che disti esattamente $5$ unità dal centro della piazza. Determina le coordinate delle due possibili posizioni dell'irrigatore.

Un veicolo di esplorazione spaziale si muove in linea retta seguendo l'equazione $y = 2x$. Nel punto $C(5, 0)$ si trova una base di ricarica wireless di emergenza. Determina in quale punto esatto della sua traiettoria il veicolo si troverà alla minima distanza dalla base e calcola tale distanza.

Determina le equazioni generali delle due rette parallele a $r: 5x - 12y + 8 = 0$ che si trovano a una distanza esattamente di $3$ unità dal punto $A(1, -1)$. Quindi, determina la distanza che separa tra loro le due rette parallele e spiega come si può dedurre quest'ultimo valore immediatamente per simmetria, senza bisogno di applicare alcuna formula aggiuntiva.

Determina i possibili valori del parametro $k$ affinché la retta $r: kx + 3y - 5 = 0$ disti esattamente $2$ unità dal punto $P(1, -2)$.

Le rette $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 3 = 0$ rappresentano i bordi di due viali che si incrociano. Si vuole costruire una pista ciclabile equidistante in ogni punto da entrambi i viali. Determina le equazioni delle due possibili traiettorie della pista ciclabile (le bisettrici) e dimostra analiticamente che sono perpendicolari.

Determina le coordinate dei punti del piano che soddisfano contemporaneamente due condizioni: sono equidistanti dalle rette incidenti $r: 3x - 4y + 2 = 0$ e $s: 4x + 3y - 1 = 0$, e la loro distanza dall'origine del sistema di coordinate è esattamente $5$ unità.

Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano $P(x, y)$ la cui distanza dalla retta $r: 3x - 4y = 0$ è esattamente il doppio della loro distanza dal punto fisso $Q(0, 2)$. Semplifica l'equazione ottenuta.

Si considerano le rette incidenti $r: 4x - 3y + 6 = 0$ e $s: 3x + 4y - 12 = 0$. Si cercano i punti situati sull'asse delle ascisse ($OX$) che siano contemporaneamente equidistanti da entrambe le rette.

1. a) Scrivi le coordinate di un punto generico dell'asse delle ascisse, imposta la condizione algebrica $d(P, r) = d(P, s)$ e ottieni le coordinate esatte dei due soli punti, $P_1$ e $P_2$, che verificano tale uguaglianza.
2. b) Determina le equazioni generali delle due bisettrici, $b_1$ e $b_2$, degli angoli formati da $r$ e $s$. Verifica mediante sostituzione diretta che $P_1$ appartiene a una di esse e $P_2$ all'altra.
3. c) Dimostra che le due bisettrici $b_1$ e $b_2$ sono perpendicolari tra loro e spiega quale significato geometrico ha il fatto che i punti trovati nel punto a) siano proprio le intersezioni di ciascuna bisettrice con l'asse delle ascisse.