Successione decrescente

Date le seguenti successioni definite dal loro termine generale, individua quali sono strettamente decrescenti calcolando empiricamente i loro primi quattro termini: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.

Dimostra, analizzando il segno della differenza $a_{n+1} - a_n$, che la successione polinomiale di termine generale $a_n = -4n + 7$ è strettamente decrescente per ogni numero naturale $n$.

Verifica se la successione razionale $b_n = \frac{3}{n+2}$ è decrescente. Per farlo, imposta l'espressione $b_{n+1} - b_n$ e determina se il risultato è minore o uguale a zero per ogni $n \ge 1$.

Indica se la seguente affermazione è vera o falsa e giustifica la risposta con un controesempio numerico: «Ogni successione i cui termini sono tutti negativi è necessariamente una successione decrescente».

Un alpinista scende da una montagna a un ritmo costante. La sua altitudine in metri al termine di ogni ora $n$ di percorso è modellizzata dalla successione $h_n = 3500 - 150n$. Dimostra analiticamente che la successione delle altitudini $(h_n)$ è strettamente decrescente.

Marco afferma in classe di matematica: «Poiché tutti i termini della successione $a_n = -\dfrac{4}{n+2}$ sono numeri negativi per ogni valore naturale $n \ge 1$, la successione è necessariamente strettamente decrescente».

1. a) Individua l'errore concettuale di Marco e fornisci un controesempio numerico calcolando i suoi primi tre termini ($a_1$, $a_2$ e $a_3$) per confutare la sua affermazione.
2. b) Dimostra formalmente qual è la vera monotonia della successione calcolando la differenza $a_{n+1} - a_n$.
3. c) Spiega perché Marco non avrebbe nemmeno potuto ricorrere al criterio del quoziente $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ per analizzare questa successione.

Dimostra che la successione di termine generale $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ è strettamente decrescente. Per farlo, imposta la disuguaglianza $a_{n+1} < a_n$, opera algebricamente e arriva a un'affermazione vera per ogni $n \ge 1$.

Il Ministero della Transizione Ecologica monitora periodicamente la riserva idrica dei bacini idrici in Italia. In un bacino del sud sottoposto a un periodo secco estivo, il volume d'acqua immagazzinata (in ettometri cubi, $\text{hm}^3$) nel corso delle settimane $n \ge 1$ trascorse dal 1° giugno segue il modello:

1. a) Dimostra formalmente, mediante lo studio algebrico della differenza $V_{n+1} - V_n$, che la riserva idrica decresce strettamente settimana dopo settimana.
2. b) Determina se la successione è limitata inferiormente e superiormente. Indica qual è il volume massimo iniziale stimato ($V_1$) e ragiona se esiste una soglia minima d'acqua sotto la quale il bacino non scenderebbe mai secondo questo modello.
3. c) Calcola la quantità d'acqua persa tra la settimana 1 e la settimana 2 ($V_1 - V_2$) e confrontala con quella persa tra la settimana 2 e la settimana 3 ($V_2 - V_3$). Il ritmo di perdita settimanale accelera o rallenta con il passare del tempo?

Trova la condizione matematica rigorosa che deve soddisfare il parametro reale $p$ affinché la successione razionale $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sia strettamente decrescente in tutto il suo dominio naturale $n \ge 1$.

Una successione è data in forma ricorsiva dal primo termine $a_1 = 15$ e dalla legge di formazione $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Giustifica matematicamente perché questa successione è strettamente decrescente per ogni $n \ge 1$.

In un reattore chimico, la concentrazione $C_n$ di un isotopo radioattivo dopo $n$ ore è data dalla relazione di ricorrenza $C_1 = 100$ e $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Dimostra mediante il principio di induzione matematica che $C_{n+1} < C_n$ per ogni $n \ge 1$, concludendo che la sequenza delle concentrazioni è strettamente decrescente.

Il metodo babilonese per approssimare il valore di $\sqrt{3}$ genera una successione definita da $x_1 = 2$ e dalla ricorrenza $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sapendo che tutti i termini della successione soddisfano $x_n > \sqrt{3}$, dimostra analiticamente che $x_{n+1} < x_n$ per ogni $n \ge 1$, provando così che la successione delle approssimazioni è strettamente decrescente.

Usa il criterio del quoziente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per dimostrare che la successione geometrica a termini positivi $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ è strettamente decrescente.

Per studiare la monotonia di una successione hai a disposizione due strumenti principali: lo studio del segno della differenza $a_{n+1} - a_n$ e il criterio del quoziente $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$. Date le successioni $b_n = \dfrac{3n+8}{n+2}$ e $c_n = \dfrac{4^n}{n!}$:

1. a) Scegli quale dei due metodi è più adatto per la successione $b_n$, giustifica la tua scelta e dimostra che è strettamente decrescente per ogni $n \ge 1$.
2. b) Giustifica perché per la successione $c_n$ il metodo del quoziente è chiaramente più conveniente di quello della differenza, verifica se soddisfa il requisito sul segno dei suoi termini per poterlo applicare e dimostra che è strettamente decrescente a partire da un certo termine, indicando qual è il primo numero naturale $n$ a partire dal quale decresce.

Un macchinario industriale perde ogni anno il $12\%$ del suo valore rispetto all'anno immediatamente precedente. Se il suo valore iniziale di acquisto è di $45000$ euro, trova l'espressione del termine generale $V_n$ che indica il suo valore dopo $n$ anni e dimostra matematicamente che la successione $(V_n)$ è decrescente.

Si lascia cadere una palla di gomma da un'altezza iniziale di $5$ metri. Ad ogni rimbalzo successivo, la palla raggiunge un'altezza pari a $\frac{3}{4}$ dell'altezza massima del rimbalzo precedente. Sia $h_n$ l'altezza massima raggiunta dopo l'$n$-esimo impatto con il suolo. Scrivi il termine generale della successione e dimostra che è strettamente decrescente.

La temperatura in gradi Celsius di un pezzo di metallo che si raffredda in una stanza a temperatura ambiente è data dalla successione $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, dove $n$ rappresenta il tempo trascorso in minuti. Dimostra che $(T_n)$ è una successione decrescente e calcola algebricamente l'espressione dell'esatta diminuzione di temperatura che si verifica tra il minuto $n$ e il minuto $n+1$.

Sia la successione definita da $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sapendo che vale la disuguaglianza $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ per ogni numero naturale $n$, dimostra mediante il criterio del quoziente che $(a_n)$ è una successione strettamente decrescente.

Calcola i primi cinque termini della successione quadratica $c_n = -n^2 + 6n$. È una successione decrescente fin dal primo termine? Determina da quale valore di $n$ la successione inizia a essere strettamente decrescente.

Considera la successione che combina una potenza e un fattoriale $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcola i suoi primi sei termini e osserva il suo comportamento. Utilizzando il criterio del quoziente, determina analiticamente a partire da quale valore esatto di $n$ la successione diventa strettamente decrescente.

Data la successione polinomiale $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina l'insieme dei valori che deve assumere il parametro reale $k$ per garantire che la successione sia strettamente decrescente per ogni $n \ge 1$.

Studia la monotonia della successione $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. È una successione decrescente? Definisci una nuova successione $e_n = |d_n|$ prendendo il valore assoluto di ogni termine e dimostra passo per passo che $(e_n)$ è una successione strettamente decrescente.

Considera la successione di termine generale $a_n = \dfrac{12n}{n^2 + 9}$ per $n \ge 1$.

1. a) Stima: prima di eseguire calcoli algebrici formali, calcola i primi quattro termini ($a_1, a_2, a_3, a_4$) e congettura a partire da quale valore naturale di $n$ la successione comincia a essere strettamente decrescente, individuando quale sembra essere il termine che raggiunge il valore massimo.
2. b) Verifica: imposta formalmente la disequazione $a_{n+1} - a_n < 0$, semplifica la frazione risultante e risolvi la disequazione nell'insieme dei numeri naturali per trovare con totale rigore il primo termine a partire dal quale la successione è strettamente decrescente.
3. c) Valuta se la tua stima iniziale coincideva esattamente con il risultato algebrico e spiega in modo motivato perché il grado del denominatore finisce per prevalere su quello del numeratore per valori sufficientemente grandi di $n$.

Siano $(u_n)$ e $(v_n)$ due successioni di numeri reali strettamente positivi. Se si sa che $(u_n)$ è strettamente decrescente e anche $(v_n)$ è strettamente decrescente, dimostra algebricamente che la successione prodotto definita da $w_n = u_n \cdot v_n$ è, a sua volta, strettamente decrescente.

Dimostra che la successione costruita mediante radicali $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ è strettamente decrescente. Moltiplica e dividi per l'espressione coniugata prima di analizzare se $c_{n+1} < c_n$.

Considera la successione delle somme parziali $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sia $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la successione che misura la distanza tra $S_n$ e il limite teorico della serie infinita. Dimostra che $(E_n)$ è una successione strettamente decrescente ed esprimila in forma chiusa in funzione di $n$.

Studia la crescita o decrescita della successione logaritmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. Successivamente, dimostra che la successione delle somme parziali $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ è strettamente decrescente e trova un'espressione algebrica semplificata per $S_n$ applicando le proprietà dei logaritmi.

Considera la successione definita da $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Dimostra che è limitata inferiormente da $1$ e che è strettamente decrescente. Infine, determina a partire da quale valore di $n$ la differenza tra due termini consecutivi è minore in valore assoluto di $10^{-4}$.

Si vuole progettare un algoritmo che generi una successione di approssimazioni numeriche con la struttura $a_n = \dfrac{k \cdot n + 10}{n + p}$, dove $k$ e $p$ sono parametri reali fissati. L'algoritmo deve soddisfare contemporaneamente tre requisiti tecnici:

1. Il primo valore generato deve essere esattamente $a_1 = 3$.

2. Procedendo nel processo ($n$ sempre più grande), i termini si avvicinano quanto si vuole a $2$ senza mai diventare minori o uguali a $2$ (cioè $2$ è l'estremo inferiore stretto e il limite della successione).

3. La successione deve essere strettamente decrescente per ogni $n \ge 1$.

1. a) Determina in modo motivato i valori unici dei parametri $k$ e $p$ a partire dai requisiti 1 e 2.
2. b) Con i valori trovati, dimostra rigorosamente mediante la definizione della differenza $a_{n+1} - a_n < 0$ che la successione soddisfa il requisito 3 per ogni $n \ge 1$.
3. c) Indaga cosa accadrebbe alla monotonia se, mantenendo il valore ottenuto di $p$, si modificasse il parametro $k$ in modo che diventi $k = 5$. Dimostra se la nuova successione sarebbe strettamente decrescente o strettamente crescente.

Si considera la successione $a_n = \dfrac{2^n + 5}{2^{n+1} + 1}$ definita per ogni $n \ge 1$.

1. a) Dimostra rigorosamente che $(a_n)$ è strettamente decrescente per ogni $n \ge 1$ mediante il calcolo della differenza $a_{n+1} - a_n$. Per operare con chiarezza, mantieni raggruppate le potenze di base $2$ e giustifica il segno finale della frazione risultante.
2. b) Dimostra che la successione è limitata superiormente dal suo primo termine $a_1$ e limitata inferiormente dal valore $m = 0,5$, provando algebricamente che la differenza $a_n - 0,5$ è strettamente positiva per ogni numero naturale $n$.
3. c) Basandoti sul carattere decrescente e sul limite trovato, determina a partire da quale numero naturale $n$ la distanza tra il termine $a_n$ e il valore $0,5$ diventa minore di un centesimo ($0,01$).