Successioni esponenziali. Il numero e
Se depositi 1 euro in un conto ipotetico al 100% annuo, quanto ottieni dopo un anno se gli interessi vengono accreditati sempre più spesso? È un caso limite, non un tasso reale, ma la risposta ci porta al numero e.
La successione che definisce e
Considera la successione $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Calcoliamo i primi termini: $a_1 = 2$, $a_2 = 2{,}25$, $a_{10} \approx 2{,}594$, $a_{100} \approx 2{,}705$, $a_{1000} \approx 2{,}717$.
I valori crescono ma si avvicinano a un numero: $e \approx 2{,}71828$. Si scrive $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$.
La base tende a $1$, l'esponente a $+\infty$: è la forma indeterminata $1^\infty$, perché $1$ elevato a un numero enorme non dà necessariamente $1$.
Calcola il limite della seguente successione esponenziale: $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcola il limite della seguente successione esponenziale:
$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Determina il valore a cui tende la successione $b_n$ quando $n \to \infty$: $b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$
Determina il valore a cui tende la successione $b_n$ quando $n \to \infty$:
$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$
Trova il limite della successione formata dal rapporto di polinomi elevato a $n$: $c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$
Trova il limite della successione formata dal rapporto di polinomi elevato a $n$:
$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$
Il caso della base diversa da 1
Non tutte le successioni esponenziali sono forme indeterminate. Se la base è una costante $q$, la successione $q^n$ ha limite $0$ quando $|q|<1$, perché a ogni moltiplicazione il valore si riduce. Una costante moltiplicativa non cambia il risultato: $\lim c\cdot q^n = c\cdot 0 = 0$.
Indica qual è il limite della seguente successione geometrica: $d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$
Indica qual è il limite della seguente successione geometrica:
$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$
Varianti del limite notevole
Se $k$ è una costante, $\lim\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = e^k$. In generale, se $a_n \to 1$ e $b_n \to \infty$, allora $\lim a_n^{b_n} = e^{\lim b_n(a_n-1)}$.
Calcola il limite della successione con termine generale: $e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Calcola il limite della successione con termine generale:
$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Calcola il limite della seguente successione, risolvendo la forma indeterminata corrispondente: $a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Calcola il limite della seguente successione, risolvendo la forma indeterminata corrispondente:
$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Trova il valore del parametro reale $a$ affinché valga la seguente uguaglianza con il numero $e$: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$
Trova il valore del parametro reale $a$ affinché valga la seguente uguaglianza con il numero $e$:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$
Capitalizzazione continua
Versando $C$ euro al tasso annuo $r$ con interessi accreditati $n$ volte all'anno, dopo un anno hai $C\left(1+\frac{r}{n}\right)^n$. Per $n\to\infty$ il capitale tende a $Ce^{r}$.
Torniamo all'inizio: con il tasso del 100% e capitalizzazione continua, 1 euro diventa $e \approx 2{,}72$ euro.
Si depositano $5000$ euro presso un istituto finanziario a un interesse annuo del $4\%$. La formula del capitale finale dopo $n$ anni con capitalizzazione continua è…
Si depositano $5000$ euro presso un istituto finanziario a un interesse annuo del $4\%$. La formula del capitale finale dopo $n$ anni con capitalizzazione continua è data dalla successione $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcola il capitale accumulato dopo $10$ anni e confrontalo con il capitale ottenuto se la capitalizzazione fosse annua, la cui espressione è $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.
Una persona in Italia decide di depositare $12.000\text{ \euro}$ dei suoi risparmi in un deposito bancario a termine di $1$ anno. L'istituto bancario offre un tasso di…
Una persona in Italia decide di depositare $12.000\text{ \euro}$ dei suoi risparmi in un deposito bancario a termine di $1$ anno. L'istituto bancario offre un tasso di interesse nominale annuo del $4\%$ ($r = 0{,}04$) e permette di scegliere la frequenza con cui gli interessi vengono liquidati e reinvestiti. Se gli interessi vengono liquidati $n$ volte all'anno, il capitale finale accumulato è dato dalla successione $C_n = 12.000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modellizza il capitale finale se l'istituto liquidasse gli interessi in modo istantaneo e continuo ($n \to \infty$). Esprimi tale valore esatto in funzione del numero $e$ e calcola il suo importo arrotondato al centesimo di euro (sapendo che $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calcola il guadagno netto in euro che genera il deposito con un'unica liquidazione annua ($n = 1$) e confrontalo con il guadagno ottenuto mediante capitalizzazione continua.\nc) Un volantino commerciale afferma: «Se dividiamo l'anno in periodi sempre più brevi (secondi, millisecondi...), i tuoi interessi genereranno nuovi interessi in modo continuo, facendo crescere i tuoi guadagni senza limite». Utilizzando il concetto di limite e le proprietà del numero $e$, confuta formalmente questo slogan pubblicitario e determina qual è il guadagno aggiuntivo massimo che la capitalizzazione continua offre rispetto a quella annua.