Teorema del resto

Calcola, senza eseguire la divisione, il resto della divisione del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ per $x - 2$.

Determina il resto della divisione di $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ per $x - 2$ valutando il polinomio.

La posizione di un mobile su una retta in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dal polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (in metri). Utilizza il teorema del resto per calcolare la posizione del mobile all'istante $t = 3$ e spiega la relazione concettuale tra il valore trovato e la divisione polinomiale di $x(t)$ per $t - 3$.

Determina se il polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ è divisibile per $x + 4$ applicando il teorema del resto.

Verifica mediante il teorema del resto se $x = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

Luca cerca di capire se il binomio $x + 2$ è un fattore del polinomio $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + k$. Per risolverlo, scrive sul quaderno: «Per il teorema del resto, calcolo $P(2) = 2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 + k = 16 + 20 - 2 + k = 34 + k$. Perché sia un fattore, il resto deve essere zero, quindi $34 + k = 0 \implies k = -34$». Individua e spiega con rigore l'errore concettuale commesso da Luca, chiarisci quale valore numerico avrebbe dovuto calcolare in realtà secondo il teorema del resto e trova il valore corretto del parametro $k$ affinché la divisione sia esatta.

Trova il valore del parametro $k$ affinché il resto della divisione di $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ per $x - 1$ sia $4$.

Trova il valore di $m$ sapendo che la divisione del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ per $x - 2$ è esatta.

Sapendo che il resto della divisione di $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ per $x + 2$ è $-7$, calcola il valore del coefficiente $a$.

Trova i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sia divisibile per $x - 2$ e dia resto $-24$ quando viene diviso per $x + 2$.

Calcola il valore di $a$ e $b$ sapendo che il polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ è divisibile contemporaneamente per $(x - 1)$ e per $(x + 1)$.

Un polinomio $P(x)$ di terzo grado ha come coefficiente principale $2$. Sapendo che è divisibile per $(x - 1)$ e per $(x + 2)$, e che dividendolo per $(x - 2)$ dà resto $16$, determina l'espressione completa del polinomio $P(x)$ in forma sviluppata.

La capacità termica di un materiale sperimentale è approssimata dal polinomio di terzo grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sappiamo che $C(T)$ è divisibile per $T$, che a $T=1$ il suo valore è $4$, a $T=-1$ il suo valore è $0$ e a $T=2$ il suo valore è $18$. Scrivi il sistema di equazioni corrispondente utilizzando il teorema del resto e trova l'espressione analitica del polinomio $C(T)$.

La crescita di una colonia di batteri in un ambiente controllato è modellata dal polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, dove $t$ è il tempo in giorni e $P(t)$ rappresenta lo scostamento rispetto alla popolazione iniziale. Dimostra, utilizzando il teorema di Ruffini (del fattore), che nei giorni $t=1$, $t=2$ e $t=3$ la popolazione torna esattamente al livello iniziale.

In un sistema di sicurezza crittografico, una chiave viene generata valutando un polinomio di grado molto alto. La chiave corrisponde esattamente al resto della divisione del polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ per il binomio $x - 3$. Calcola il valore numerico di tale chiave di sicurezza giustificando la tua risposta.

Dimostra, applicando il teorema del resto, che il polinomio $P(x) = x^n - a^n$ è sempre divisibile per $x - a$ per qualsiasi numero naturale $n$. Utilizza questo risultato per dedurre, con le dovute motivazioni, il resto della divisione di $x^5 - 32$ per $x - 2$.

Per determinare se il polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x - 4$ è divisibile per il binomio $x - 1$, tre studenti del terzo anno di liceo propongono strategie diverse:

• Lucia propone di eseguire la divisione euclidea in colonna tra polinomi per vedere se il resto finale è il polinomio nullo.

• Matteo propone di applicare la regola di Ruffini completando la tabella dei coefficienti e di verificare se l'ultima casella è zero.

• Clara propone di applicare il teorema del resto (del fattore) calcolando direttamente $P(1)$ con un calcolo aritmetico.

1. a) Confronta in modo motivato i tre metodi in base al numero di operazioni, alla probabilità di commettere errori di segno e al tempo di risoluzione.
2. b) Scegli il metodo più efficiente secondo la tua analisi e applicalo per stabilire in modo giustificato se $x - 1$ è un fattore di $P(x)$.

Trova il resto della divisione del polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ per il polinomio di secondo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Ricorda che il resto della divisione per un polinomio di grado 2 è, al massimo, della forma $mx + n$. Applica il teorema del resto valutando in modo strategico nelle radici del divisore.

Trova l'espressione sviluppata di un polinomio $P(x)$ di terzo grado tale che, diviso per $x+1$, $x-2$ e $x+3$, dia in tutti i casi lo stesso resto uguale a $5$, e che diviso per $x-1$ dia resto $-7$.

Nota: Pensa alla relazione tra il polinomio ausiliario $P(x) - 5$ e il teorema del fattore.