Sistemi non lineari

Risolvi il seguente sistema non lineare, che rappresenta l'intersezione tra una parabola e una retta:

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = x - 1$

Trova le soluzioni del seguente sistema formato dall'equazione di una circonferenza e da una retta:

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 7$

Un terreno rettangolare ha un perimetro di $40$ m e un'area di $96$ m$^2$. Imposta un sistema di equazioni non lineare per calcolare le dimensioni del terreno e risolvilo.

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali, esprimendo entrambe le potenze con la stessa base:

$2^{x+y} = 32$

$2^{x-y} = 2$

Determina la soluzione del sistema logaritmico, applicando le proprietà dei logaritmi:

$\log x + \log y = 1$

$x - y = 3$

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali applicando un opportuno cambio di variabile:

$3^x + 2^y = 11$

$3^{x+1} - 2^{y-1} = 26$

Risolvi il sistema logaritmico e quadratico, verificando la validità della soluzione ottenuta:

$\log(x) - \log(y) = 1$

$x^2 - y^2 = 99$

Risolvi il seguente sistema irrazionale. Assicurati di verificare se la soluzione ottenuta è valida nell'equazione originale:

$\sqrt{x} + y = 5$

$x - y = 1$

Marco ha risolto alla lavagna il seguente sistema non lineare con radicali:

Il suo svolgimento è stato il seguente:

1.º Ricava $y$ dalla prima equazione: $y = x + 2$.

2.º Sostituisce nella seconda equazione: $\sqrt{x + 4} = x + 2$.

3.º Eleva al quadrato entrambi i membri: $x + 4 = (x + 2)^2 \implies x + 4 = x^2 + 4x + 4$.

4.º Raggruppa e scompone in fattori: $x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0$, da cui ottiene $x_1 = 0$ e $x_2 = -3$.

5.º Calcola le ordinate associate: $y_1 = 0 + 2 = 2$ e $y_2 = -3 + 2 = -1$.

Marco afferma che il sistema ha due soluzioni: $(0, 2)$ e $(-3, -1)$. Trova l'errore concettuale commesso da Marco, spiega perché l'operazione di elevare al quadrato può introdurre soluzioni non valide e fornisci l'insieme delle soluzioni corretto giustificando la tua risposta.

Trova la soluzione del seguente sistema irrazionale:

$\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y} = 4$

$x - y = 4$

Risolvi il seguente sistema irrazionale, verificando quali soluzioni sono valide mediante l'analisi del dominio delle radici:

$\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$

$x + y = 11$

La somma di due numeri positivi è $10$ e la somma dei loro quadrati è $58$. Imposta un sistema di equazioni non lineare e risolvilo per trovare tali numeri.

L'orbita circolare di un satellite in un sistema di riferimento segue l'equazione $x^2 + y^2 = 25$, mentre la traiettoria di una cometa descrive l'iperbole $xy = 12$. Risolvi il sistema per trovare le coordinate esatte dei punti di intersezione delle due traiettorie.

Risolvi il sistema di equazioni di grado superiore. (Suggerimento: usa i prodotti notevoli e la scomposizione in fattori per semplificare la prima equazione):

$x^3 + y^3 = 35$

$x + y = 5$

Discuti per quali valori del parametro $k$ il seguente sistema ha esattamente una soluzione (ciò equivale geometricamente alla condizione di tangenza tra la circonferenza e la retta):

$x^2 + y^2 = 10$

$x + y = k$

Il limite di copertura di una stazione di telecomunicazioni rurale è descritto dalla circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 25$ (dove $x$ e $y$ sono misurate in chilometri rispetto all'antenna posta nell'origine). Una pista forestale rettilinea segue la traiettoria $y = 2x - 5$.

1. a) Prima di calcolare algebricamente le soluzioni, fai una stima geometrica ragionata: se un fuoristrada percorre la pista e interseca l'asse verticale in $x = 0$, questo punto si trova all'interno, sulla circonferenza o all'esterno del limite di copertura? Stima in quali quadranti del piano cartesiano avverranno l'ingresso e l'uscita del veicolo dalla zona con copertura.
2. b) Imposta e risolvi il sistema formato dalle due equazioni per determinare le coordinate esatte dei punti di intersezione tra la pista e il limite di copertura.
3. c) Verifica se i punti calcolati sono in accordo con la tua stima precedente e trova la distanza esatta percorsa dal fuoristrada all'interno del raggio di copertura dell'antenna.

Un ciclista percorre un tragitto di $60$ km a velocità costante. Se avesse viaggiato a una velocità maggiore di $2$ km/h, avrebbe impiegato $1$ ora in meno a completare il percorso. Imposta e risolvi un sistema non lineare per trovare la velocità media $v$ e il tempo $t$ impiegato.

Un gruppo di amici decide di comprare un regalo di compleanno che costa $120$ €, dividendo la spesa in parti uguali. All'ultimo momento si uniscono al gruppo altri due amici, per cui la quota di ciascuno si riduce di $3$ €. Imposta e risolvi un sistema per trovare quanti amici erano inizialmente e quanto pagava ciascuno.

Un serbatoio cilindrico di lamiera ha un volume interno di $54\pi$ m³ e una superficie laterale (basi escluse) di $36\pi$ m². Imposta un sistema per trovare il raggio di base $r$ e l'altezza $h$ del cilindro, e risolvilo.