Scomposizione di polinomi
Un'equazione di grado alto sembra un mobile da montare senza istruzioni. Ma se il polinomio è già scomposto, come in $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$, si legge subito che $P(x)=0$ solo per $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. In questa pagina metti insieme tutte le tecniche (raccoglimento, prodotti notevoli, Ruffini, radici razionali) in un unico procedimento, e vedrai anche radici multiple, radici frazionarie e fattori di secondo grado che non si possono scomporre ancora.
Raccoglimento e prodotti notevoli
Scomporre comincia sempre allo stesso modo: si raccoglie a fattor comune tutto il possibile. Poi, se rimane un prodotto notevole o un trinomio di secondo grado, si scompone anche quello.
Se i termini non hanno un fattore comune a tutti, prova il raccoglimento parziale: raggruppa i termini a coppie, raccogli in ogni coppia e cerca un fattore comune alle coppie.
Raccogli a fattor comune e utilizza i prodotti notevoli per scomporre al massimo il seguente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Raccogli a fattor comune e utilizza i prodotti notevoli per scomporre al massimo il seguente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ risolvendo prima l'equazione di secondo grado associata.
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ risolvendo prima l'equazione di secondo grado associata.
Verifica, utilizzando il teorema del resto, se $x = -1$ è radice del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. In caso affermativo, estrai il fattore corrispondente.
Verifica, utilizzando il teorema del resto, se $x = -1$ è radice del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. In caso affermativo, estrai il fattore corrispondente.
Scomposizione completa e molteplicità
Scomporre «al massimo» vuol dire ripetere raccoglimento, prodotti notevoli e Ruffini finché ogni fattore è di grado $1$ oppure di grado $2$ senza radici reali (cioè irriducibile in $\mathbb{R}$). Se una radice compare più volte, si dice radice multipla e il numero di volte che compare è la sua molteplicità.
Indica quali sono le radici del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ e le rispettive molteplicità. Spiega perché questo polinomio non ha altre radici reali.
Indica quali sono le radici del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ e le rispettive molteplicità. Spiega perché questo polinomio non ha altre radici reali.
Scomponi in fattori il seguente polinomio di terzo grado sapendo che una delle sue radici è $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Scomponi in fattori il seguente polinomio di terzo grado sapendo che una delle sue radici è $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Trova le radici intere del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regola di Ruffini ed esprimilo in forma scomposta.
Trova le radici intere del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regola di Ruffini ed esprimilo in forma scomposta.
Polinomi biquadratici
Un polinomio biquadratico ha solo termini di grado $4$, $2$ e $0$: $ax^4+bx^2+c$. Si tratta come uno di secondo grado, ponendo $t=x^2$. Se un fattore è ancora una differenza di quadrati, si applica il prodotto notevole una seconda volta. Per i cubi valgono $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ e $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$; il fattore di secondo grado ha $\Delta<0$ ed è irriducibile.
Scrivi in forma scomposta il polinomio $P(x) = x^4 - 81$ applicando successivamente la differenza di quadrati.
Scrivi in forma scomposta il polinomio $P(x) = x^4 - 81$ applicando successivamente la differenza di quadrati.
Scomponi completamente il polinomio biquadratico $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Scomponi completamente il polinomio biquadratico $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizzando i prodotti notevoli e raccogliendo i fattori comuni, senza dover prima sviluppare tutto il…
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizzando i prodotti notevoli e raccogliendo i fattori comuni, senza dover prima sviluppare tutto il polinomio.
Radici razionali
Se il coefficiente principale non è $1$, oltre ai divisori del termine noto bisogna provare anche delle frazioni.
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tieni presente che alcune delle sue radici possono essere numeri frazionari.
Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tieni presente che alcune delle sue radici possono essere numeri frazionari.
In uno studio di economia, la curva del profitto marginale di un'azienda tecnologica è approssimata dal polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, dove $x$…
In uno studio di economia, la curva del profitto marginale di un'azienda tecnologica è approssimata dal polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, dove $x$ rappresenta l'investimento in R&S in milioni di euro. Scomponi il polinomio per trovare i punti di equilibrio esatti (comprese le radici frazionarie).
Fattori irriducibili di secondo grado
Non tutti i polinomi si scompongono in fattori di primo grado. Un fattore di secondo grado con $\Delta<0$ è irriducibile in $\mathbb{R}$ e la scomposizione si ferma lì. A volte, sommando e sottraendo un termine opportuno, si fanno comparire due fattori di secondo grado che a prima vista non si vedono.
Per scomporre in fattori irriducibili in $\mathbb{R}$ il polinomio $P(x) = 2x^4 - 32$, due studentesse propongono strategie diverse: Alba propone di applicare…
Per scomporre in fattori irriducibili in $\mathbb{R}$ il polinomio $P(x) = 2x^4 - 32$, due studentesse propongono strategie diverse:
-
Alba propone di applicare successivamente la regola di Ruffini provando con i divisori interi di $32$ fino a ridurre il grado.
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Bea propone di raccogliere prima il fattore comune numerico e poi di applicare in sequenza i prodotti notevoli (differenze di quadrati).
- a) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è più efficiente, rapido e meno soggetto a errori di calcolo in questo caso.
- b) Applica passo dopo passo la strategia scelta fino a ottenere la scomposizione completa di $P(x)$ in $\mathbb{R}$.
- c) Giustifica con le dovute motivazioni perché il fattore quadratico $(x^2 + 4)$ non si può scomporre ulteriormente nei numeri reali.
Dimostra che il polinomio $P(x) = x^4 + 4$ non ha radici reali. Successivamente, scomponilo come prodotto di due polinomi di secondo grado. Suggerimento: Somma e sottrai…
Dimostra che il polinomio $P(x) = x^4 + 4$ non ha radici reali. Successivamente, scomponilo come prodotto di due polinomi di secondo grado. Suggerimento: Somma e sottrai $4x^2$ all'espressione per far comparire una differenza di quadrati.
Scomponi completamente il polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica chiaramente quali sono le sue radici reali e la molteplicità di ciascuna.
Scomponi completamente il polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica chiaramente quali sono le sue radici reali e la molteplicità di ciascuna.
Parametri e applicazioni
Se il polinomio contiene un parametro e c'è una condizione di divisibilità, prima si trova il parametro (con il teorema del resto) e poi si scompone con tutti i coefficienti noti. Le scomposizioni servono anche nei problemi: il volume di una scatola, ad esempio, scomposto dà le sue tre dimensioni.
Determina il valore del parametro $m$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sia divisibile per il binomio $x - 2$. Trovato il valore di $m$, scomponi…
Determina il valore del parametro $m$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sia divisibile per il binomio $x - 2$. Trovato il valore di $m$, scomponi completamente il polinomio nell'insieme dei numeri reali.
Il volume di una scatola rettangolare in funzione della sua lunghezza $x$ è dato dall'espressione polinomiale $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Scomponi $V(x)$ per trovare le…
Il volume di una scatola rettangolare in funzione della sua lunghezza $x$ è dato dall'espressione polinomiale $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Scomponi $V(x)$ per trovare le espressioni algebriche più semplici che rappresentano le tre dimensioni della scatola.
Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sia divisibile per il polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. Successivamente,…
Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sia divisibile per il polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. Successivamente, scomponi $P(x)$ al massimo.
Frazioni algebriche
La scomposizione serve a semplificare le frazioni algebriche. Prima di tutto scomponi numeratore e denominatore, poi imponi le condizioni di esistenza (C.E.): i valori che annullano il denominatore sono esclusi. Infine cancella i fattori uguali. Si possono cancellare solo fattori, mai addendi.
Per sommare o sottrarre, scomponi i denominatori e cerca il minimo comune multiplo (m.c.m.): prendi ogni fattore con l'esponente maggiore. Poi riduci le frazioni al denominatore comune e svolgi il calcolo.
Semplifica la seguente frazione algebrica scomponendo prima al massimo numeratore e denominatore: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Semplifica la seguente frazione algebrica scomponendo prima al massimo numeratore e denominatore:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Semplifica la seguente espressione algebrica, che rappresenta l'impedenza equivalente in un circuito complesso, scomponendo al massimo ciascun polinomio nei numeratori e…
Semplifica la seguente espressione algebrica, che rappresenta l'impedenza equivalente in un circuito complesso, scomponendo al massimo ciascun polinomio nei numeratori e nei denominatori:
$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$
Vuoi sapere dove usare tutto questo? Il polinomio $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ dell'inizio si annulla solo per $x=0$, $x=-5$ e $x=4$ (quest'ultima doppia): lo hai letto dalla scomposizione, senza risolvere nessuna equazione di grado 4.