Disequazioni lineari in un'incognita

Data la disequazione $4x - 7 \ge 2x + 1$, verifica quali dei seguenti valori appartengono al suo insieme delle soluzioni: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.

Risolvi la seguente disequazione di primo grado:

$3x - 5 < 2x + 4$

Lucia ha risolto alla lavagna la disequazione $5 - 2x \le 11$ seguendo questi passaggi:

1) Sottrae $5$ da entrambi i membri: $-2x \le 6$.

2) Porta il $-2$ a dividere: $x \le \frac{6}{-2}$.

3) Conclude che la soluzione è $x \le -3$, cioè l'intervallo $(-\infty, -3]$.

Tuttavia, verificando con il valore $x = 0$ (che non appartiene al suo insieme delle soluzioni), osserva che $5 - 2\cdot 0 = 5 \le 11$, che è una disuguaglianza senza dubbio vera.

1. a) Individua e spiega in modo ragionato l'errore concettuale commesso da Lucia nel suo sviluppo algebrico.
2. b) Basandoti sulla retta reale e sull'inversione dell'ordine tra numeri opposti, giustifica perché il verso della disuguaglianza va invertito quando si divide per una quantità negativa.
3. c) Determina l'insieme delle soluzioni corretto sia in forma di disuguaglianza sia in notazione a intervalli.

Per risolvere la disequazione $3 - 5x < 18$, due compagni di classe propongono due strategie diverse:

• Metodo A (Marco): Lavora lasciando l'incognita nel membro di sinistra. Sottrae $3$ da entrambi i membri e poi divide per $-5$, ricordandosi di invertire il verso della disuguaglianza per ottenere $x > -3$.

• Metodo B (Sara): Preferisce evitare di dividere per numeri negativi. Somma $5x$ a entrambi i membri per ottenere $3 < 18 + 5x$ e isola l'incognita nel membro di destra senza mai alterare il verso della disuguaglianza.

1. a) Sviluppa completamente il procedimento di Sara (Metodo B) e verifica che si ottiene esattamente la stessa soluzione del Metodo A.
2. b) Confronta criticamente i due metodi: quale vantaggio offre il metodo di Sara per evitare i tipici errori di segno e quale precauzione particolare richiede nello scrivere l'intervallo delle soluzioni finale a partire dall'espressione ottenuta?

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione eliminando prima le parentesi:

$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$

Risolvi la seguente disequazione con denominatori:

$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$

Data la disequazione con denominatori:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \ge \frac{x}{2} - 1$

1. a) Prima di operare algebricamente, fai una stima ragionata: calcola il valore numerico del membro di sinistra e del membro di destra per i valori interi di prova $x = 0$ e $x = 10$. Sulla base di queste due verifiche, deduci se ti aspetti che le soluzioni della disequazione corrispondano a valori piccoli (minori di un limite) o a valori grandi (maggiori di un limite).
2. b) Risolvi la disequazione in modo esatto moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori ed esprimi l'insieme delle soluzioni ottenuto sotto forma di intervallo.
3. c) Verifica se il risultato trovato è coerente con la tua stima iniziale del punto a) e controlla esplicitamente se l'estremo dell'intervallo soddisfa l'uguaglianza corrispondente.

Traduci in linguaggio algebrico e risolvi: "Il doppio di un numero meno tre unità è strettamente minore del numero stesso più cinque unità."

Una piccola azienda produce custodie per cellulari. I costi fissi mensili sono di $500$ euro e produrre ogni custodia costa $2$ euro. Se ogni custodia viene venduta a $5$ euro, imposta una disequazione e determina quante custodie devono essere vendute al mese come minimo per ottenere un profitto di almeno $1000$ euro.

Uno studente di terza liceo ha ottenuto i seguenti voti nelle sue prime tre verifiche di matematica: $6,5$, $7,0$ e $8,2$. Quale voto minimo deve ottenere nella quarta verifica affinché la sua media sia uguale o superiore a $7,5$?

Un'azienda di noleggio auto (Ditta A) applica una tariffa fissa di $30$ euro più $0,15$ euro per ogni chilometro percorso. Un'altra azienda concorrente (Ditta B) applica $15$ euro fissi più $0,20$ euro per chilometro. Imposta una disequazione per scoprire da quanti chilometri in poi è più conveniente noleggiare l'auto presso la Ditta A e interpreta il risultato aiutandoti con il seguente grafico.

Un montacarichi ha una capacità massima di $800$ kg. Un operaio che pesa $75$ kg deve portare su scatole di materiale edile che pesano $22$ kg ciascuna. Se l'operaio deve sempre accompagnare il carico nel montacarichi, imposta e risolvi una disequazione per determinare il numero massimo di scatole intere che può trasportare in un solo viaggio.

Considera la disequazione $3x - a > 2x + 5$, dove $a$ è un parametro reale. Calcola il valore di $a$ sapendo che l'insieme delle soluzioni della disequazione è l'intervallo $(8, \infty)$.

Discuti e risolvi la disequazione $kx - 3 \le 2x + k$ al variare del parametro reale $k$.

Considera la disequazione lineare nell'incognita $x$ dipendente dal parametro reale $m$:

$m(x - 2) + 3x \le 2m + 5(x - 1)$

1. a) Raccogli i termini simili e trasforma la disequazione nella forma ridotta $(m - 2)x \le k(m)$, dove $k(m)$ è un polinomio di grado 1 in $m$.
2. b) Discuti in modo motivato l'insieme delle soluzioni della disequazione al variare dei valori reali di $m$. Specifica per quali valori di $m$ la soluzione è una semiretta verso $-\infty$, per quali è verso $+\infty$, e se esiste un valore per cui la disequazione è soddisfatta da ogni numero reale ($S = \mathbb{R}$) o da nessuno ($S = \emptyset$).
3. c) Uno studente di liceo afferma: «Poiché per $m = 2$ il coefficiente di $x$ diventa $0$, la disequazione perde di significato e non ha affatto soluzioni». Analizza in modo critico tale affermazione sostituendo direttamente $m = 2$ nell'espressione ridotta e stabilisci se è vera o falsa.