Termine generale di una successione

Data la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcola i suoi primi cinque termini.

Se il termine generale di una successione è $b_n = n^2 - 5n + 6$, trova il valore esatto del termine che occupa la ventesima posizione ($b_{20}$).

Verifica matematicamente se il numero $47$ appartiene alla successione di termine generale $c_n = 3n + 2$. In caso affermativo, indica quale posto occupa in tale successione.

Data la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, trova l'espressione del termine generale della successione differenza definita come $d_n = a_{n+1} - a_n$ e semplifica al massimo il risultato.

Trova l'espressione del termine generale della seguente progressione aritmetica:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Trova l'espressione del termine generale della seguente progressione geometrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Trova il termine generale della successione $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ e utilizzalo per calcolare il valore esatto del termine che occupa la cinquantesima posizione ($a_{50}$).

Scrivi il termine generale $f_n$ della seguente successione di frazioni:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Trova il termine generale $a_n$ della seguente successione combinando i modelli che regolano il suo numeratore e il suo denominatore in modo indipendente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Osserva la seguente sequenza di figure formate da esagoni adiacenti che condividono uno o più lati. La Figura 1 è formata da 6 stecchini, la Figura 2 da 11 stecchini e la Figura 3 da 16 stecchini. Scrivi il termine generale del numero di stecchini $P_n$ necessari per costruire la Figura $n$.

Scrivi il termine generale di una successione i cui termini sono numeri interi consecutivi ma con segni alterni:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Marco vuole trovare il termine generale della successione di frazioni:

Nel compito scrive la seguente giustificazione:

«Il numeratore avanza di 2 in 2 partendo da 3, quindi è $2n+1$. Il denominatore sono i quadrati di $2, 3, 4, 5\ldots$, quindi è $(n+1)^2$. Poiché i segni si alternano tra positivo e negativo, moltiplico per $(-1)^n$. Pertanto, il termine generale è $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$».

1. a) Calcola i primi due termini ($a_1$ e $a_2$) con la formula di Marco e individua con precisione l'errore che ha commesso.
2. b) Spiega come deve essere modificato l'esponente della potenza di base $-1$ per correggere il segno e scrivi l'espressione corretta del termine generale.
3. c) Marco afferma che il valore $-\frac{21}{121}$ appartiene a questa successione e che occupa una posizione pari. Utilizza il termine generale corretto per stabilire se la sua affermazione è vera o falsa.

Progetta l'espressione algebrica del termine generale $a_n$ di una successione che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:

1. Il primo termine ($n=1$) è negativo e il segno si alterna tra ogni termine e il successivo.

2. Tutti i suoi termini sono frazioni il cui valore assoluto è strettamente minore di 1.

3. Al crescere dell'indice $n$, il valore assoluto dei termini si avvicina progressivamente a 1 (cioè numeratore e denominatore si avvicinano in valore assoluto).

4. Il numero $-\frac{5}{6}$ appartiene alla successione.

Una volta definita la tua formula:

1. a) Scrivi i suoi primi tre termini ($a_1, a_2, a_3$) per verificare che siano soddisfatte le condizioni 1, 2 e 3.
2. b) Imposta e risolvi l'equazione che permette di trovare quale posizione $n$ occupa il numero $-\frac{5}{6}$, giustificando perché il risultato garantisce che tale valore appartiene alla successione.

Trova un unico termine generale esplicito $a_n$ per la successione $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizzando l'espressione $(-1)^n$ per unificare il comportamento diverso dei termini di posto pari e di posto dispari.

Si considera la successione i cui primi termini sono:

1. a) Analizza la regolarità seguita dai termini di posto dispari ($n=1, 3, 5, \ldots$) e quella seguita dai termini di posto pari ($n=2, 4, 6, \ldots$). Scrivi la legge che determina ciascun gruppo di termini in funzione dell'indice globale $n$.
2. b) Per esprimere la successione con un'unica formula chiusa senza ricorrere a una funzione definita a tratti, si utilizzano «interruttori algebrici» costruiti con potenze di base $-1$. Giustifica quali valori assumono le espressioni $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ e $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ a seconda della parità di $n$, e usale per dedurre una formula unificata e semplificata del termine generale $a_n$.
3. c) Indaga algebricamente se il numero 100 fa parte di questa successione. Imposta le equazioni corrispondenti e spiega quante volte e in quale o quali posizioni esatte compare tale valore.

Data la legge di ricorrenza $a_1 = 2$ e $a_n = 3a_{n-1} - 1$ per $n \ge 2$, calcola i primi quattro termini della successione.

Una successione per ricorrenza è definita dalle condizioni iniziali $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ e dalla legge di ricorrenza $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ per ogni $n \ge 3$. Calcola i termini della successione fino a $x_6$ e deduci una formula esplicita per il termine generale $x_n$ in funzione di potenze di $2$.

Si definisce la successione $a_n$ mediante la relazione di ricorrenza $a_1 = 3$ e $a_n = 2a_{n-1} + 1$ per $n \ge 2$. Per trovare il suo termine generale esplicito, definisci una nuova successione ausiliaria $b_n = a_n + 1$. Dimostra che $b_n$ è una progressione geometrica, determina il suo termine generale $b_n$ e, a partire da esso, deduci il termine generale di $a_n$.

Si investono $5\,000$ € in un fondo di investimento che offre un interesse composto annuo del $4\,\%$. Tuttavia, alla fine di ogni anno e dopo aver applicato gli interessi, l'ente trattiene $50$ € fissi a titolo di commissioni di gestione. Scrivi la legge di ricorrenza per il capitale $C_n$ accumulato alla fine dell'anno $n$ (con $C_0 = 5000$), e calcola il capitale nei primi tre anni ($C_1, C_2, C_3$).

Una successione è definita per ricorrenza mediante $a_1 = 2$ e $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ per ogni $n \geq 1$. Due studenti devono svolgere due compiti: calcolare il termine $a_3$ e verificare se il valore $\frac{1}{152}$ appartiene alla successione.

• Lucia propone di applicare la ricorrenza successivamente termine a termine fino a rispondere a entrambe le domande.

• Sergio propone di calcolare i primi quattro termini, studiare la successione ausiliaria dei loro inversi $b_n = \frac{1}{a_n}$ per trovare una regola generale, dedurre l'espressione esplicita di $a_n$ in funzione di $n$ e lavorare a partire da essa.

1. a) Sviluppa il metodo di Sergio: determina $a_1, a_2, a_3, a_4$, scrivi i valori corrispondenti di $b_n$, deduci in modo motivato la formula del termine generale esplicito $a_n$ e verifica che coincide con i valori trovati.
2. b) Confronta i due procedimenti per il calcolo esclusivo di $a_3$. Quale risulta più economico in tempo e operazioni per questo caso particolare? Giustifica la tua risposta.
3. c) Utilizza il termine generale esplicito per determinare con rigore matematico se il numero $\frac{1}{152}$ appartiene alla successione. Poi spiega perché il metodo di ricorrenza di Lucia risulterebbe inefficiente o inattuabile per rispondere con certezza a questa domanda.

Una popolazione di alghe microscopiche in un lago controllato triplica la superficie coperta ogni settimana. Se nella prima settimana (settimana $n=1$) coprono una superficie di $2 \text{ m}^2$:

1. a) Scrivi il termine generale $S_n$ che rappresenta la superficie coperta dopo $n$ settimane.
2. b) Calcola quante settimane complete devono trascorrere affinché la superficie coperta superi per la prima volta $1000 \text{ m}^2$.

Il valore di mercato di un'auto nuova è di $24\,000$ €. Si stima che ogni anno perda il $15\,\%$ del suo valore rispetto all'anno immediatamente precedente. Trova il termine generale $V_n$ che esprime il valore dell'auto dopo $n$ anni (considerando $n=0$ il momento dell'acquisto) e determina il suo valore stimato dopo $5$ anni.

Un atleta amatoriale si prepara per una mezza maratona. Il primo giorno di allenamento corre $5$ km e decide di aumentare la distanza giornaliera di $500$ metri esatti rispetto al giorno precedente. Esprimi il termine generale $d_n$ della distanza in chilometri percorsa il giorno $n$. In quale giorno del suo allenamento correrà esattamente $15$ km?

Un atleta amatoriale si prepara a Roma per i 10 km della corsa San Silvestro seguendo un piano di allenamento di 16 settimane. Nella prima settimana ($n=1$) effettua un lungo di $4 \text{ km}$. L'allenatore stabilisce una progressione base lineare che aggiunge $0,5 \text{ km}$ a settimana (cioè: $4 \text{ km}$ nella settimana 1, $4,5 \text{ km}$ nella settimana 2, $5 \text{ km}$ nella settimana 3, ecc.). Tuttavia, per assimilare lo sforzo muscolare, introduce una regola di scarico periodico:

• Se la settimana $n$ è dispari, l'atleta corre l'intera distanza fissata dalla progressione base.

• Se la settimana $n$ è pari, l'atleta riduce di $1 \text{ km}$ il lungo che gli spetterebbe secondo la progressione base.

1. a) Modella la distanza reale $T_n$ (in chilometri) del lungo della settimana $n$ mediante un'unica formula esplicita unificata, utilizzando una potenza di base $-1$ per alternare la correzione tra settimane pari e dispari.
2. b) Determina algebricamente in quale settimana supererà per la prima volta i $9 \text{ km}$ nel suo lungo.
3. c) Quanti chilometri dovrà correre nella settimana $n=16$, ultima settimana di carico prima della gara?

Si costruisce un frattale geometrico a partire da un triangolo equilatero di area $A$. A ogni passo si uniscono i punti medi dei lati dei triangoli non ombreggiati per formare 4 triangoli più piccoli, e si ombreggia esclusivamente quello centrale. Trova il termine generale $T_n$ che esprime il numero di nuovi triangoli ombreggiati aggiunti al passo $n$, e il termine generale $A_n$ per l'area di uno solo di quei nuovi triangoli aggiunti al passo $n$.

Una palla di gomma viene lasciata cadere da un'altezza iniziale di $10$ metri. A ogni rimbalzo sul suolo, la palla raggiunge un'altezza pari a $\frac{3}{4}$ dell'altezza massima raggiunta nel rimbalzo immediatamente precedente. Scrivi il termine generale $h_n$ dell'altezza raggiunta dopo l'$n$-esimo rimbalzo. Utilizzando i logaritmi, determina poi dopo quanti rimbalzi l'altezza massima sarà per la prima volta inferiore a $1$ metro.

In una rete di computer, il numero totale di connessioni dirette possibili tra $n$ dispositivi (se tutti sono collegati fisicamente con tutti) forma una successione $C_n$. Sapendo che $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$ e $C_4 = 6$, determina il termine generale $C_n$. Da esso, deduci quanti dispositivi compongono una rete che ha esattamente $1225$ connessioni dirette.

Considera la successione definita dal termine generale $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo esatto, fai una stima ragionata del valore a cui si avvicineranno i termini della successione quando la posizione $n$ è estremamente grande (ad esempio, per $n = 10\,000$). Giustifica a quali termini della frazione presti attenzione e perché gli altri influiscono appena sul risultato.
2. b) Verifica la tua stima calcolando il valore esatto (in forma di frazione irriducibile) e l'approssimazione decimale con tre cifre decimali per $n = 1$, $n = 10$ e $n = 100$. Questi valori numerici confermano la tua previsione iniziale?
3. c) Imposta l'equazione necessaria per stabilire se il numero $2,5$ è esattamente un termine della successione. Risolvila e argomenta perché, nonostante la stima del punto a), è impossibile che $2,5$ ne faccia parte.

Dimostra matematicamente, studiando il segno algebrico della differenza $a_{n+1} - a_n$, se la successione $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ è strettamente crescente o strettamente decrescente.

Studia la limitatezza della successione $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. A tal fine, dimostra algebricamente che la successione è limitata inferiormente da $\frac{7}{3}$ e superiormente da $\frac{5}{2}$.