Altre equazioni

Risolvi la seguente equazione biquadratica trovando tutte le sue soluzioni reali:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Costruisci un'equazione biquadratica della forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ (con coefficienti interi $b, c \in \mathbb{Z}$) che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1. Le sue uniche soluzioni reali devono essere $x = 2$ e $x = -2$.

2. L'equazione di secondo grado ausiliaria in $t$ ($t = x^2$) deve avere due soluzioni reali distinte (cioè discriminante strettamente positivo, $\Delta > 0$).

Mostra passo per passo come deduci i valori di $b$ e $c$, giustificando quale segno deve avere ciascuna radice della variabile ausiliaria $t$ e perché tale scelta garantisce che l'equazione originale non abbia quattro soluzioni reali.

La diagonale di un rettangolo misura $10$ cm e la sua area è $48\text{ cm}^2$. Imposta un'equazione biquadratica per trovare la lunghezza dei suoi lati e risolvila.

Scomponi in fattori il polinomio e risolvi l'equazione di terzo grado:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Per risolvere l'equazione polinomiale $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$, due compagni di classe propongono strade diverse:

• Lucia propone di cercare una radice intera per tentativi tra i divisori di 12 e di scomporre in fattori applicando la regola di Ruffini.

• Marco suggerisce di raggruppare i termini a coppie: $(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$, ed effettuare raccoglimenti successivi senza dover tentare con i divisori.

1. a) Risolvi l'equazione seguendo il metodo di Lucia, mostrando la tabella di Ruffini e l'equazione di secondo grado risultante.
2. b) Risolvi l'equazione seguendo il metodo di Marco, specificando ogni raccoglimento.
3. c) Confronta i due procedimenti: stabilisci quale sia più efficiente in questo caso specifico e spiega se il metodo di Marco sarebbe applicabile a qualsiasi equazione di terzo grado o se richiede una particolare relazione tra i coefficienti (sostieni la risposta con un controesempio).

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un cartoncino rettangolare di $20 \times 15$ cm, ritagliando quadrati uguali di lato $x$ agli angoli e piegando i bordi. Se il volume della scatola deve essere $378\text{ cm}^3$, imposta l'equazione polinomiale di terzo grado corrispondente e trova il valore di $x$, sapendo che è un numero intero.

Trova il valore di $x$ che verifica la seguente equazione con l'incognita al denominatore:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Risolvi la seguente equazione razionale riducendola a un'equazione polinomiale:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

Due tubi riempiono una vasca in $6$ ore lavorando insieme. Se il primo tubo impiega $5$ ore in meno del secondo a riempire la vasca da solo, quanto impiega ciascuno? Imposta e risolvi l'equazione razionale corrispondente.

Un ciclista va da un paese A a un paese B, distanti $60$ km, a velocità costante. Nel viaggio di ritorno, a causa del vento contrario, la sua velocità diminuisce di $5$ km/h, perciò impiega $1$ ora in più per compiere lo stesso percorso. Imposta l'equazione razionale che modellizza la situazione e determina la velocità all'andata.

Trova le soluzioni reali dell'equazione irrazionale, verificandone la validità:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Risolvi la seguente equazione irrazionale con due radicali e verifica la soluzione ottenuta:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Una torre per telecomunicazioni si trova sulla riva rettilinea di un fiume. Si vuole stendere un cavo in linea retta da un punto $P$ della riva fino alla torre, e un altro cavo da $P$ fino a una capanna situata a $5$ km a valle della torre e a $1$ km all'interno. Se la lunghezza totale del cavo utilizzato è $6$ km, imposta un'equazione irrazionale e determina a quale distanza dalla torre si trova il punto $P$.

Trova i valori di $x$ che soddisfano l'equazione con valore assoluto:

$|2x - 5| = 7$

Trova tutti i valori reali di $x$ che verificano la seguente equazione con valore assoluto quadratico:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Trova tutte le soluzioni reali dell'equazione con valore assoluto annidato:

$||x - 2| - 3| = 1$

Determina il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione esponenziale:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Una coltura di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Per determinare l'istante critico di un esperimento, un biologo deve risolvere l'equazione $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Trova i valori di $x$ applicando un cambio di variabile.

Considera l'equazione esponenziale $4^x + 2^{x+1} = 80$.

1. a) Prima di risolverla algebricamente, determina con ragionamento fra quali due numeri interi si trova la soluzione reale. Per farlo, calcola mentalmente il primo membro per $x = 2$ e per $x = 4$, e giustifica tale limitazione a partire dalla stretta crescenza delle funzioni esponenziali.
2. b) Risolvi formalmente l'equazione effettuando il cambio di variabile $u = 2^x$. Giustifica con precisione quale radice dell'equazione di secondo grado ausiliaria viene scartata e per quale motivo teorico.
3. c) Verifica se il valore esatto ottenuto coincide con la tua stima precedente e controlla l'uguaglianza numerica nell'equazione originale.

Risolvi la seguente equazione esponenziale con basi diverse, effettuando un raccoglimento a fattor comune in ciascun membro:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

Applica le proprietà dei logaritmi per risolvere l'equazione:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Carlo deve risolvere in un compito l'equazione logaritmica $\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (dove il logaritmo è in base 10). Sul suo foglio scrive il seguente svolgimento:

1. Applico la proprietà della somma di logaritmi: $\log[x(x - 3)] = 1$.

2. Per definizione di logaritmo: $x(x - 3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

3. Risolvo l'equazione di secondo grado: $(x - 5)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 5$ e $x_2 = -2$.

4. Verifica: sostituendo $x = -2$, si ha $(-2)\cdot(-2 - 3) = (-2)\cdot(-5) = 10 > 0$; poiché l'argomento risultante è positivo, entrambe le soluzioni sono valide.

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Carlo e spiega perché il suo ragionamento al passo 4 è scorretto se applicato all'equazione originale.
2. b) Determina il dominio di validità dell'equazione di partenza e scrivi l'insieme finale delle soluzioni reali valide.

Applica le proprietà dei logaritmi per raggruppare i termini e risolvi l'equazione:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione biquadratica $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ ha esattamente due soluzioni reali distinte. Giustifica la risposta.

Considera la famiglia di equazioni esponenziali dipendenti dal parametro reale $k$:

1. a) Applica il cambio di variabile $u = 2^x$ per trasformare l'equazione in una di secondo grado e formula esplicitamente la restrizione algebrica che deve soddisfare ogni soluzione di $u$ per generare una soluzione reale di $x$.
2. b) Discuti con ragionamento il numero di soluzioni reali dell'equazione originale al variare del parametro $k$. Determina con precisione per quali valori o intervalli di $k$ l'equazione:

1. Ha esattamente due soluzioni reali distinte.

2. Ha un'unica soluzione reale.

3. Non ha alcuna soluzione reale.

(Giustifica la tua classificazione analizzando il discriminante dell'equazione in $u$ e i segni delle sue radici mediante somma e prodotto delle radici).

1. c) Per il caso particolare $k = 3$, calcola tutte le soluzioni esatte dell'equazione (usando i logaritmi quando non si tratta di una potenza intera della base).

Un campione di materiale radioattivo si disintegra in modo che la quantità rimanente $M(t)$ in grammi dopo $t$ anni obbedisce all'espressione $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. Quanti anni devono trascorrere perché rimangano esattamente $50$ grammi di materiale? Esprimi il risultato esatto usando i logaritmi naturali.

L'energia $E$ (in erg) liberata da un terremoto è legata alla sua magnitudo $M$ nella scala Richter dall'equazione $\log E = 11,8 + 1,5M$. Se un terremoto libera $1000$ volte più energia di un altro la cui magnitudo è $4,2$, qual è la magnitudo del primo terremoto nella scala Richter?

Risolvi il seguente sistema non lineare che modellizza l'incrocio di due traiettorie nel piano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina algebricamente i punti di intersezione.

Il PIN di una carta è formato da quattro cifre intere positive, consecutive e in ordine crescente. Se formiamo un polinomio monico $P(x)$ di grado $4$ le cui radici sono esattamente quelle quattro cifre, risulta che il suo termine noto è uguale a $24$. Determina il polinomio $P(x)$ sviluppato e il PIN di quattro cifre.

In un'azienda agricola della pianura padana si progetta di costruire una vasca di irrigazione rettangolare a cielo aperto per ottimizzare l'immagazzinamento dell'acqua nei periodi di siccità.

Il progetto tecnico stabilisce che la base abbia una lunghezza che supera di $8\text{ metri}$ la sua larghezza $x$. Per motivi geotecnici di stabilità delle scarpate, la profondità (altezza) della vasca deve essere esattamente uguale alla metà della sua larghezza.

1. a) Sapendo che il volume netto richiesto è $96\text{ m}^3$, imposta l'equazione polinomiale in forma generale $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ che modellizza la capacità della vasca in funzione della sua larghezza $x$.
2. b) Risolvi l'equazione scomponendo in fattori il polinomio mediante il teorema del resto e la regola di Ruffini. Dimostra, analizzando il discriminante del polinomio quoziente, che non esistono altre dimensioni reali possibili.
3. c) Indica le dimensioni finali della vasca (larghezza, lunghezza e profondità).
4. d) Se una successiva normativa tecnica limitasse la profondità massima a $1,5\text{ metri}$ mantenendo le stesse relazioni del progetto (lunghezza $x+8$ e profondità uguale alla metà della larghezza), spiega algebricamente (senza dover risolvere una nuova equazione completa) perché sarebbe impossibile raggiungere il volume richiesto di $96\text{ m}^3$.