Parità di una funzione
Hai mai notato che il tuo volto allo specchio è quasi identico all'originale? In matematica succede qualcosa di simile ai grafici di alcune funzioni: si possono ripiegare su sé stessi oppure ruotare di mezzo giro. Alla fine della pagina vedrai come riconoscere queste simmetrie senza disegnare nulla.
Funzioni pari e dispari
Perché? Se $f(-x) = f(x)$, i punti $(x; y)$ e $(-x; y)$ stanno entrambi sul grafico: il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. Se $f(-x) = -f(x)$, i punti $(x; y)$ e $(-x; -y)$ stanno entrambi sul grafico: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Sapendo che il costo di manutenzione di una macchina segue una funzione pari $C(t)$ rispetto al tempo ottimale $t=0$, e che $C(4) = 150$ euro, qual è il valore di…
Sapendo che il costo di manutenzione di una macchina segue una funzione pari $C(t)$ rispetto al tempo ottimale $t=0$, e che $C(4) = 150$ euro, qual è il valore di $C(-4)$?
La posizione di un oggetto in un ambiente virtuale tridimensionale è regolata da una funzione dispari $p(t)$. Se all'istante $t=3$ s la sua posizione su uno degli assi è…
La posizione di un oggetto in un ambiente virtuale tridimensionale è regolata da una funzione dispari $p(t)$. Se all'istante $t=3$ s la sua posizione su uno degli assi è $p(3) = -12$ m, qual era la sua posizione all'istante $t=-3$ s?
Completa i valori mancanti affinché la funzione $f(x)$ sia dispari in tutto il suo dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Completa i valori mancanti affinché la funzione $f(x)$ sia dispari in tutto il suo dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Studio analitico della parità
Per studiare la parità: controlla che il dominio sia simmetrico, calcola $f(-x)$ e confrontalo con $f(x)$ e con $-f(x)$.
Determina analiticamente se la funzione polinomiale $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ è pari, dispari o nessuna delle due.
Determina analiticamente se la funzione polinomiale $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ è pari, dispari o nessuna delle due.
Studia la parità della funzione razionale $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando se presenta simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.
Studia la parità della funzione razionale $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando se presenta simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.
Verifica matematicamente se la funzione polinomiale $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta qualche tipo di simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.
Verifica matematicamente se la funzione polinomiale $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta qualche tipo di simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.
Il profilo di un arco architettonico è modellizzato dalla funzione $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dal centro in metri. Dimostra…
Il profilo di un arco architettonico è modellizzato dalla funzione $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dal centro in metri. Dimostra analiticamente se questo profilo è simmetrico rispetto all'asse centrale verticale (funzione pari).
Parità di prodotti
Se combini funzioni di parità nota, il prodotto segue la regola dei segni: pari · pari = pari, dispari · dispari = pari, pari · dispari = dispari. Perché: se $f$ è pari e $g$ è dispari, $h(x) = f(x)\,g(x)$ dà $h(-x) = f(-x)\,g(-x) = f(x)\cdot(-g(x)) = -h(x)$.
Date due funzioni, $f(x)$ che è pari e $g(x)$ che è dispari, dimostra analiticamente quale parità ha la funzione prodotto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Date due funzioni, $f(x)$ che è pari e $g(x)$ che è dispari, dimostra analiticamente quale parità ha la funzione prodotto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Parametri e parità
Per trovare un parametro, imponi $f(-x) = f(x)$ (pari) oppure $f(-x) = -f(x)$ (dispari) e confronta i coefficienti dei termini corrispondenti.
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la funzione dei profitti di un'azienda, data da $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sia una funzione pari e, quindi, simmetrica…
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la funzione dei profitti di un'azienda, data da $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sia una funzione pari e, quindi, simmetrica rispetto a $x=0$.
La forza di attrazione elettromagnetica tra due componenti metallici è modellizzata con una funzione dispari $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, dove $d$ è la…
La forza di attrazione elettromagnetica tra due componenti metallici è modellizzata con una funzione dispari $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, dove $d$ è la distanza. Determina il valore che deve necessariamente avere il parametro $b$ affinché tale simmetria sia soddisfatta.
Considera la famiglia di funzioni razionali $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali.\na) Trova i valori di $a$…
Considera la famiglia di funzioni razionali $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali.\na) Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia dispari e il suo grafico passi per il punto $(1, 3)$.\nb) È possibile scegliere valori per $a$ e $b$ in modo che $f(x)$ sia una funzione pari? Se ritieni che sia possibile, calcolali; se non lo è, giustifica algebricamente perché nessuna coppia di valori reali può ottenerlo.