Problemi che si risolvono con sistemi

La somma di due numeri interi è $54$ e la loro differenza è $12$. Imposta un sistema di equazioni e calcola il valore di entrambi i numeri.

In una fattoria didattica ci sono galline e mucche. Se si contano le teste degli animali, ce ne sono in tutto $45$; se si contano le zampe, ce ne sono $140$. Quanti animali di ciascun tipo ci sono nella fattoria?

In una ferramenta, un cliente compra $4$ viti e $3$ dadi per un totale di $2,10$ €. Un altro cliente compra $2$ viti e $5$ dadi per $1,75$ €. Imposta un sistema di equazioni lineari e calcola il prezzo di ciascun articolo.

In una cantina si mescolano due tipi di vino, uno da $4$ €/litro e uno da $5,50$ €/litro, per ottenere una botte da $300$ litri di miscela che sarà venduta a $4,60$ €/litro. Quanti litri di ciascun tipo di vino sono stati utilizzati per fare la miscela?

In un negozio di articoli sportivi si vendono palloni da calcio, da basket e da pallavolo. Il prezzo di un pallone da calcio è di $25$ €, quello da basket $30$ € e quello da pallavolo $20$ €. Una società ha acquistato $40$ palloni per un totale di $1030$ €. Sapendo che il numero di palloni da calcio acquistati è uguale alla somma di quelli da basket e da pallavolo, imposta un sistema di tre equazioni e determina quanti palloni di ciascuno sport sono stati acquistati.

Un'azienda ripartisce i suoi utili annuali tra i suoi tre soci A, B e C. Il socio A riceve il doppio del socio B, e il socio C riceve $4000$ € in più del socio B. Se l'utile totale da ripartire è di $52000$ €, imposta un sistema di tre equazioni lineari e calcola la somma che riceve ciascun socio.

L'età attuale di un padre è il triplo di quella del figlio. Tra $10$ anni, l'età del padre sarà esattamente il doppio di quella del figlio. Determina le età attuali di entrambi.

Il perimetro di un terreno rettangolare misura $130$ metri. Si sa che la lunghezza del terreno misura $15$ metri più della larghezza. Imposta un sistema di equazioni e determina le dimensioni del terreno.

Le dimensioni di un campo da gioco rettangolare sono tali che la sua area è di $6000$ m² e la lunghezza della sua diagonale è $130$ m. Imposta un sistema di equazioni non lineare per calcolare la lunghezza e la larghezza del campo.

Un compito di matematica consta di $30$ domande. Per ogni risposta corretta si sommano $5$ punti e per ogni risposta errata o lasciata in bianco si sottraggono $2$ punti. Uno studente ha ottenuto $94$ punti in totale. A quante domande ha risposto correttamente?

Due rubinetti riempiono una vasca in $6$ ore se vengono aperti contemporaneamente. Se il primo rubinetto impiega $5$ ore in meno del secondo per riempire la vasca da solo, imposta un sistema di equazioni (che includerà frazioni algebriche) per determinare quanto tempo impiegherebbe ciascun rubinetto a riempirla singolarmente.

Due treni partono contemporaneamente da due stazioni A e B distanti $450$ km, viaggiando su binari paralleli in sensi opposti. Si incrociano dopo $3$ ore. Se il treno che parte da A fosse partito $1$ ora prima del treno di B, si sarebbero incrociati a $306$ km dalla stazione A. Imposta un sistema di equazioni per calcolare le velocità costanti dei due treni.

Un sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro $k$ modellizza la distribuzione di veicoli su tre percorsi alternativi $x$, $y$, $z$:

$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $

Determina per quali valori del parametro $k$ il modello ha una soluzione unica, infinite soluzioni o nessuna soluzione, e interpreta che cosa significhi fisicamente che il sistema risulti impossibile.

Un agricoltore vuole recintare un campo di forma rettangolare che confina con un fiume rettilineo, per cui non ha bisogno di mettere la recinzione sul lato del fiume. Dispone di esattamente $400$ metri di recinzione. Sapendo che l'area recintata deve essere di $20000$ m², imposta un sistema di equazioni per trovare le dimensioni del campo e discuti in modo motivato se il problema ha una soluzione unica.