Iperbole

Scrivi l'equazione canonica dell'iperbole i cui fuochi sono $F(5, 0)$ e $F'(-5, 0)$ e il cui asse trasverso misura $8$.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza di distanze dai punti fissi $F(0, 10)$ e $F'(0, -10)$ è, in valore assoluto, uguale a $12$. Scrivi la sua equazione canonica.

Data l'iperbole di equazione $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina le coordinate dei suoi vertici, dei suoi fuochi e le equazioni dei suoi asintoti.

Verifica analiticamente se i punti $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(6, -3)$ sono interni, esterni o appartengono all'iperbole di equazione $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Trova l'equazione canonica dell'iperbole che ha i vertici nei punti $V(3, 0)$ e $V'(-3, 0)$ e che passa per il punto $P(5, 4)$.

Luca cerca di calcolare i fuochi, l'eccentricità e gli asintoti dell'iperbole $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

«Individuo $a^2 = 16$ e $b^2 = 9$. Poiché nelle coniche la relazione fondamentale è $a^2 = b^2 + c^2$, ricavo $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Quindi i fuochi sono in $(\pm\sqrt{7}, 0)$ e l'eccentricità è $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Infine, gli asintoti sono le rette $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, cioè $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».

Individua e spiega con ragionamento i due errori concettuali commessi da Luca, giustifica perché il valore ottenuto per l'eccentricità è del tutto privo di senso fisico e geometrico a partire dalla definizione di iperbole, e scrivi la risoluzione corretta con i valori esatti dei fuochi, dell'eccentricità e degli asintoti.

Determina l'equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ di un'iperbole centrata nell'origine sapendo che i suoi asintoti sono le rette di equazioni $y = \pm 1,5x$ e che la distanza tra i suoi due fuochi è esattamente uguale a $2\sqrt{13}$ unità.

1. a) Trova i valori dei semiassi $a$ e $b$, e scrivi le coordinate dei suoi vertici e dei suoi fuochi.
2. b) Calcola l'eccentricità dell'iperbole.
3. c) Giustifica perché l'eccentricità di qualsiasi iperbole dipende unicamente dal coefficiente angolare $m$ dei suoi asintoti mediante la relazione $e = \sqrt{1 + m^2}$, e verifica che essa è soddisfatta con i dati ottenuti.

Trova l'equazione dell'iperbole centrata nell'origine che ha un fuoco nel punto $F(0, \sqrt{13})$ e in cui uno degli asintoti è la retta di equazione $2x - 3y = 0$.

Calcola l'eccentricità dell'iperbole la cui equazione generale è data dall'espressione $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Un'iperbole si dice equilatera quando la lunghezza del suo semiasse trasverso coincide con quella del suo semiasse non trasverso ($a = b$).

1. a) Dimostra formalmente che l'eccentricità di qualsiasi iperbole equilatera è una costante universale indipendente dal valore di $a$, e determina l'angolo formato tra loro dai suoi asintoti.
2. b) Ruotando $45^\circ$ gli assi cartesiani, gli asintoti diventano gli assi coordinati stessi e l'equazione assume la forma $xy = k$. Sapendo che i vertici $(\pm a, 0)$ dell'iperbole originale si trasformano dopo la rotazione nei punti $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, deduci l'espressione esatta della costante $k$ in funzione del semiasse $a$.
3. c) Considera la particolare iperbole equilatera $x^2 - y^2 = 32$. Si tracciano rette passanti per l'origine delle coordinate, di equazione $y = mx$. Discuti con ragionamento il numero di punti di intersezione tra la retta e l'iperbole in funzione del parametro reale $m$, e interpreta cosa rappresentano geometricamente quei valori di $m$ per i quali non esiste alcun punto di intersezione.

Trova le coordinate del centro, le lunghezze dei semiassi e le equazioni degli asintoti dell'iperbole la cui equazione è $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

Data l'equazione generale di una conica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, riscrivila completando i quadrati per dimostrare che si tratta di un'iperbole. Calcola le coordinate del suo centro, dei suoi fuochi e dei suoi vertici.

Nel progetto di una torre di raffreddamento per una centrale termica, la struttura ha forma di iperboloide di rotazione. La sezione trasversale verticale è un'iperbole con centro nell'origine delle coordinate. La torre ha un'altezza totale di $160\text{ m}$. La parte più stretta (la gola) ha un diametro di $60\text{ m}$ e si trova a un'altezza di $120\text{ m}$ sopra la base. Inoltre, il diametro nella parte più alta della torre è di $100\text{ m}$. Determina l'equazione dell'iperbole che delinea la torre e calcola il diametro della base circolare.

Il sistema di navigazione LORAN determina la posizione di una nave misurando la differenza di tempo nella ricezione dei segnali di due stazioni radio. Le stazioni $A$ e $B$ sono situate in un sistema di coordinate cartesiane nei punti $(-60, 0)$ e $(60, 0)$, con le distanze espresse in chilometri. Una nave $P$ riceve il segnale di $A$ un tempo dopo quello di $B$, il che indica che la nave è $100\text{ km}$ più vicina a $B$ che a $A$. Determina l'equazione dell'iperbole su cui naviga la nave e calcola la distanza della nave dalla stazione $B$ sapendo che la sua ordinata è $y = 45\text{ km}$.

Una cometa interstellare si avvicina al sistema solare seguendo una traiettoria iperbolica, con il Sole situato in uno dei fuochi. Nel punto di massimo avvicinamento (perielio), la cometa passa a $2\text{ UA}$ (unità astronomiche) dal Sole. Le osservazioni astronomiche indicano che l'angolo formato dai due asintoti della traiettoria della cometa è di $60^\circ$. Prendendo il Sole nel fuoco di ascissa positiva e l'asse focale sull'asse $X$ (con il vertice a sinistra del Sole), determina l'equazione della traiettoria della cometa e la distanza dal Sole a cui si troverà quando attraverserà la verticale passante per il Sole.

Calcola i punti di intersezione della retta $x - y - 2 = 0$ e dell'iperbole $x^2 - 2y^2 = 2$. Poi determina la lunghezza esatta della corda che la retta delimita intersecando la conica.

Trova l'equazione della retta tangente e della retta normale all'iperbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ nel punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Determina i valori del parametro $k$ per i quali la retta $y = x + k$ è tangente, secante o esterna all'iperbole $x^2 - 2y^2 = 4$.

Trova le equazioni delle rette tangenti all'iperbole $x^2 - 4y^2 = 4$ condotte dal punto esterno $P(1, 1)$.