Disequazioni irrazionali
Un radicale quadratico esiste, nei numeri reali, solo se il radicando non è negativo. Questa restrizione è la chiave di tutto il paragrafo: prima di fare qualsiasi calcolo si fissano le condizioni di esistenza (C.E.). Poi, per «togliere» la radice, si eleva al quadrato, ma solo quando si sa che i due membri non sono negativi: altrimenti si ottengono soluzioni false o si perdono soluzioni vere.
Un esempio concreto: la velocità di un'auto che frena si stima con $v = 10\sqrt{d}$ (con $d$ in metri e $v$ in km/h). Per quali lunghezze di frenata l'auto andava oltre il limite di $120$ km/h? Lo scopriremo alla fine.
Le condizioni di esistenza vengono prima
Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Determina il dominio della funzione reale di variabile reale $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina il dominio della funzione reale di variabile reale $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Radice minore di un numero: $\sqrt{A(x)}<k$
Risolvi la disequazione $\sqrt{x - 2} < 5$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x - 2} < 5$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.
Trova la soluzione della disequazione $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Trova la soluzione della disequazione $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analizza e risolvi la disequazione $\sqrt{2x - 7} < -3$. Giustifica la risposta.
Analizza e risolvi la disequazione $\sqrt{2x - 7} < -3$. Giustifica la risposta.
Marco cerca di risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{2x - 8} \leq -2$. A tal fine scrive nel compito i seguenti passaggi: 1) «Elevo al quadrato entrambi i membri:…
Marco cerca di risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{2x - 8} \leq -2$. A tal fine scrive nel compito i seguenti passaggi:
1) «Elevo al quadrato entrambi i membri: $(\sqrt{2x - 8})^2 \leq (-2)^2 \implies 2x - 8 \leq 4$».
2) «Isolo l'incognita: $2x \leq 12 \implies x \leq 6$».
3) «Calcolo il dominio della radice: $2x - 8 \geq 0 \implies x \geq 4$».
4) «Intersecando le due condizioni la soluzione è l'intervallo $[4, 6]$».
Spiega in dettaglio quale grave errore concettuale ha commesso Marco nel passaggio 1, perché la proprietà di elevare al quadrato non è applicabile in questo caso e qual è la soluzione reale e giustificata della disequazione senza dover fare calcoli.
Radice maggiore di un numero: $\sqrt{A(x)}>k$
Le disequazioni che contengono un termine fuori radice, come $4-\sqrt{x+1}\le 1$, si portano prima alla forma $\sqrt{\cdot}\ \lessgtr\ k$: qui $\sqrt{x+1}\ge 3$.
Determina l'insieme delle soluzioni della disequazione $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina l'insieme delle soluzioni della disequazione $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Trova i valori di $x$ che soddisfano la disuguaglianza $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Trova i valori di $x$ che soddisfano la disuguaglianza $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita: $\sqrt{x} \ge 2$ e $\sqrt{x} < 5$.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita: $\sqrt{x} \ge 2$ e $\sqrt{x} < 5$.
Si propone la disequazione $\sqrt{25 - x} \leq 3$. a) Prima di risolverla algebricamente, ragiona qualitativamente su quale tipo di intervallo ti aspetti: limitato a…
Si propone la disequazione $\sqrt{25 - x} \leq 3$.
- a) Prima di risolverla algebricamente, ragiona qualitativamente su quale tipo di intervallo ti aspetti: limitato a sinistra, a destra o da entrambi gli estremi? Giustificalo analizzando che cosa accade al radicando al crescere di $x$ e quale limitazione impone l'esistenza della radice.
- b) Esegui una stima mentale valutando in valori semplici ($x = 0$, $x = 16$, $x = 25$) per congetturare se la soluzione conterrà valori vicini a $25$ o vicini a $0$.
- c) Risolvi la disequazione con il procedimento algebrico formale (dominio ed elevazione al quadrato) e verifica se la tua stima iniziale era coerente.
Quando l'altro membro contiene $x$
Se la disequazione è $\sqrt{A(x)}\lessgtr B(x)$, il segno di $B(x)$ non è noto: bisogna discuterlo, perché si può elevare al quadrato solo quando i due membri sono non negativi.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Tieni conto delle restrizioni del dominio del radicando.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Tieni conto delle restrizioni del dominio del radicando.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x + 6} > x$. Presta particolare attenzione ai casi in cui il secondo membro può essere negativo.
Risolvi la disequazione $\sqrt{x + 6} > x$. Presta particolare attenzione ai casi in cui il secondo membro può essere negativo.
Risolvi la disequazione $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Risolvi la disequazione $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Problemi e sistemi con radici
Molte grandezze fisiche contengono una radice (periodo del pendolo, distanza, velocità di frenata). Il metodo è sempre lo stesso: traduci il testo in una disequazione, imponi le C.E., risolvi con gli schemi precedenti e controlla che la soluzione abbia senso fisico. Una disequazione irrazionale può anche comparire in un sistema con un'altra disequazione: si risolvono separatamente e si intersecano le soluzioni.
Torniamo alla frenata: $10\sqrt{d}>120\Rightarrow \sqrt d>12$, quindi $d>144$ m.
Il periodo $T$ di oscillazione di un pendolo semplice è dato dalla formula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, dove $L$ è la lunghezza del pendolo in metri e $g$ è…
Il periodo $T$ di oscillazione di un pendolo semplice è dato dalla formula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, dove $L$ è la lunghezza del pendolo in metri e $g$ è l'accelerazione di gravità. Supponendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, trova l'intervallo delle lunghezze $L$ per le quali il periodo di oscillazione è strettamente compreso tra $1$ e $3$ secondi.
La velocità $v$ (in km/h) di un veicolo prima di una frenata brusca può essere stimata mediante la formula empirica $v = 10\sqrt{d}$, dove $d$ è la lunghezza delle…
La velocità $v$ (in km/h) di un veicolo prima di una frenata brusca può essere stimata mediante la formula empirica $v = 10\sqrt{d}$, dove $d$ è la lunghezza delle tracce di frenata in metri. Se in un tratto di autostrada il limite di velocità è $120\text{ km/h}$, imposta una disequazione e determina quali lunghezze di frenata indicano che il conducente superava il limite di velocità.
Trova l'insieme delle soluzioni che soddisfano simultaneamente il seguente sistema di disequazioni: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Trova l'insieme delle soluzioni che soddisfano simultaneamente il seguente sistema di disequazioni:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$