Il Colosseo ha pianta ellittica, i pianeti girano attorno al Sole seguendo ellissi (lo scoprì Keplero), i cavi di un ponte sospeso e il riflettore di un faro hanno forma parabolica. Sembrano cose senza legami, eppure le curve in gioco sono solo quattro e nascono tutte tagliando un cono con un piano. In questa pagina le studiamo come luoghi geometrici: insiemi di punti che soddisfano una condizione sulle distanze. La circonferenza la conosci già. Ora arrivano ellisse, iperbole e parabola.
Tagliare un cono: da dove nascono le coniche
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Un cono di rotazione viene sezionato con un piano che non passa per il suo vertice. Se il piano è parallelo a una sola generatrice del cono, quale sezione conica si…
Un cono di rotazione viene sezionato con un piano che non passa per il suo vertice. Se il piano è parallelo a una sola generatrice del cono, quale sezione conica si ottiene? Giustifica la tua risposta basandoti sulla definizione geometrica delle sezioni coniche.
Per trovare l'equazione di un luogo si procede sempre così: si chiama $P(x;\,y)$ il punto generico, si scrive la condizione con le formule di distanza e si semplifica. Nei casi più comuni il risultato è già noto.
Nella pianta di una città, due strade rettilinee seguono le equazioni $r: 2x + y - 4 = 0$ e $s: x - 2y + 3 = 0$. Si vuole costruire una piazza in un punto equidistante…
Nella pianta di una città, due strade rettilinee seguono le equazioni $r: 2x + y - 4 = 0$ e $s: x - 2y + 3 = 0$. Si vuole costruire una piazza in un punto equidistante da entrambe le strade e che, per restrizioni urbanistiche, si trovi sulla via pedonale $x + y = 5$. Calcola le coordinate delle possibili posizioni per la piazza.
Durante uno scavo archeologico viene scoperto un frammento del bordo di un antico piatto circolare. Per ricostruirne la dimensione originale, il frammento viene…
Durante uno scavo archeologico viene scoperto un frammento del bordo di un antico piatto circolare. Per ricostruirne la dimensione originale, il frammento viene digitalizzato e si prendono tre punti del suo contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ e $C(4, 1)$. Utilizzando il concetto di luogo geometrico (intersezione degli assi dei segmenti), calcola le coordinate del centro originale del piatto e il suo raggio.
Quando la condizione contiene radici (distanze, non distanze al quadrato) il procedimento è sempre lo stesso: scrivi la condizione, elimina le radici elevando al quadrato, semplifica e riconosci la curva (di solito completando i quadrati).
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In un progetto di telecomunicazioni, due antenne trasmittenti sono collocate nei punti $A(-3,0)$ e $B(3,0)$ di un piano cartesiano (in km). Un ricevitore $R(x,y)$ si…
In un progetto di telecomunicazioni, due antenne trasmittenti sono collocate nei punti $A(-3,0)$ e $B(3,0)$ di un piano cartesiano (in km). Un ricevitore $R(x,y)$ si muove in modo che la sua distanza dall'antenna $A$ sia sempre il doppio della sua distanza dall'antenna $B$. Trova l'equazione del luogo geometrico descritto dal ricevitore e identifica di quale conica si tratta, indicandone il centro e il raggio.
Una telecamera di sicurezza collocata in un punto mobile $P(x,y)$ deve sorvegliare un corridoio lineare definito dal segmento $AB$, con estremi $A(-4,0)$ e $B(4,0)$.…
Una telecamera di sicurezza collocata in un punto mobile $P(x,y)$ deve sorvegliare un corridoio lineare definito dal segmento $AB$, con estremi $A(-4,0)$ e $B(4,0)$. Affinché i sensori della telecamera funzionino in modo ottimale, l'angolo di visione $\angle APB$ deve essere esattamente $90^\circ$. Trova analiticamente il luogo geometrico delle possibili posizioni della telecamera, escludendo i punti $A$ e $B$. Descrivi la figura ottenuta.
Certe condizioni non hanno radici, perché riguardano la somma o la differenza dei quadrati di due distanze. Si trattano più in fretta.
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Trova il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui differenza dei quadrati delle distanze dai punti $A(1,0)$ e $B(-1,0)$ è uguale a $8$, cioè $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Trova il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui differenza dei quadrati delle distanze dai punti $A(1,0)$ e $B(-1,0)$ è uguale a $8$, cioè $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ tali che la somma dei quadrati delle loro distanze dai punti $A(2,0)$ e $B(-2,0)$ è uguale a $20$.
Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ tali che la somma dei quadrati delle loro distanze dai punti $A(2,0)$ e $B(-2,0)$ è uguale a $20$.
Tre sensori sismici sono collocati nelle coordinate $A(0,0)$, $B(4,0)$ e $C(0,4)$. Un drone di calibrazione vola nello stesso piano in modo che la somma dei quadrati…
Tre sensori sismici sono collocati nelle coordinate $A(0,0)$, $B(4,0)$ e $C(0,4)$. Un drone di calibrazione vola nello stesso piano in modo che la somma dei quadrati delle sue distanze dai tre sensori si mantenga costante e uguale a $50$. Trova l'equazione del luogo geometrico della traiettoria del drone e descrivi la figura risultante.
Un caso particolare è l'iperbole equilatera $xy=k$, con gli assi coordinati come asintoti (nel liceo si studia anche in questa forma). Se $P(x;\,y)$ ha prodotto delle distanze dagli assi $\lvert x\rvert\cdot\lvert y\rvert=k$, allora $xy=k$ oppure $xy=-k$: due iperboli equilatere.
L'ellisse si disegna con uno spago: due chiodi nei fuochi e una corda tesa di lunghezza $2a$ che si fa scorrere con la punta di una matita (è il metodo del giardiniere).
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Per disegnare un'aiuola ellittica in un parco, un giardiniere pianta due paletti nel terreno nei punti $(-3,0)$ e $(3,0)$ (misure in metri). Poi lega gli estremi di una…
Per disegnare un'aiuola ellittica in un parco, un giardiniere pianta due paletti nel terreno nei punti $(-3,0)$ e $(3,0)$ (misure in metri). Poi lega gli estremi di una corda di lunghezza $10\text{ m}$ a entrambi i paletti e, mantenendo la corda tesa con un punteruolo, traccia il contorno sul terreno. Trova l'equazione del luogo geometrico del bordo dell'aiuola.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
In un sistema di navigazione iperbolica, una nave riceve segnali radio simultanei da due stazioni costiere situate in $A(-5,0)$ e $B(5,0)$ (in decine di km). Il ritardo…
In un sistema di navigazione iperbolica, una nave riceve segnali radio simultanei da due stazioni costiere situate in $A(-5,0)$ e $B(5,0)$ (in decine di km). Il ritardo nella ricezione del segnale indica che la nave si trova sempre $60\text{ km}$ più vicina alla stazione $B$ che alla stazione $A$. Ricava l'equazione del luogo geometrico lungo il quale naviga la nave.
Un raggio laser parte dal fuoco $F_1(c,0)$ di un'ellisse riflettente, rimbalza in un punto $P(x,y)$ della sua superficie e arriva direttamente all'altro fuoco…
Un raggio laser parte dal fuoco $F_1(c,0)$ di un'ellisse riflettente, rimbalza in un punto $P(x,y)$ della sua superficie e arriva direttamente all'altro fuoco $F_2(-c,0)$. Se la distanza totale percorsa dal raggio di luce è $10$ unità e la distanza focale è $6$ unità, deduci l'equazione canonica del luogo geometrico dell'ellisse utilizzando la sua definizione basata sulle distanze.
Esiste una definizione unica per le tre coniche non circolari, che usa un punto e una retta.
L'eccentricità misura quanto la curva si discosta dalla circonferenza: più $e$ cresce, più la curva si «apre».
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Il riflettore di un faro marittimo ha un profilo progettato in modo che la distanza di qualsiasi punto della sua superficie dal fuoco emittente di luce, situato in…
Il riflettore di un faro marittimo ha un profilo progettato in modo che la distanza di qualsiasi punto della sua superficie dal fuoco emittente di luce, situato in $F(0,2)$, sia esattamente uguale alla sua distanza da una retta di riferimento orizzontale di equazione $y = -2$. Determina l'equazione del luogo geometrico del profilo del riflettore.
Un punto mobile si muove nel piano cartesiano in modo che la sua distanza dalla retta verticale $x = k$ sia uguale alla sua distanza dal punto fisso $F(2,0)$. Determina…
Un punto mobile si muove nel piano cartesiano in modo che la sua distanza dalla retta verticale $x = k$ sia uguale alla sua distanza dal punto fisso $F(2,0)$. Determina l'equazione del luogo geometrico in funzione del parametro $k$. Per quale valore esatto di $k$ il luogo geometrico degenera in una retta invece di formare una parabola?
Dimostra analiticamente che il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui distanza dall'origine $O(0,0)$ è uguale a $e$ volte la loro distanza dalla retta $x = d$ (con…
Dimostra analiticamente che il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui distanza dall'origine $O(0,0)$ è uguale a $e$ volte la loro distanza dalla retta $x = d$ (con $e > 0$ e $d > 0$) rappresenta un'ellisse se $e < 1$, una parabola se $e = 1$ e un'iperbole se $e > 1$. Scrivi l'equazione generale ottenuta prima di classificarla.
Torna all'inizio: le orbite dei pianeti sono ellissi, i riflettori dei fari e i cavi dei ponti sospesi sono parabole, e la navigazione con segnali radio da due stazioni si basa sull'iperbole. Sono tutte curve definite da una condizione sulle distanze.
In sintesi
Mettiti alla prova! 10 esercizi di livello medio in questa sezione