Caratteristiche delle funzioni

Determina il dominio della funzione razionale $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcola il dominio della funzione con radicale $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Calcola il dominio della funzione logaritmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

Trova il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Calcola con ragionamento il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione polinomiale $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Determina gli intervalli in cui la funzione $q(x) = -3x + 12$ ha segno positivo e quelli in cui ha segno negativo.

Calcola i punti di intersezione con gli assi e studia il segno della funzione razionale $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Trova i suoi punti di intersezione con gli assi e studia il suo segno in tutto il dominio.

Per studiare il segno della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ in tutto il suo dominio, due compagni di classe discutono su quale strada seguire:

• Strategia A (tabella dei segni tradizionale): porre uguali a zero numeratore e denominatore separatamente, collocare tutte le soluzioni ottenute sulla retta reale e valutare un punto di prova in ciascun intervallo risultante.

• Strategia B (analisi strutturale preliminare): analizzare il segno globale di ciascun termine mediante ispezione algebrica delle sue proprietà prima di scomporre in intervalli.

1. a) Applica la Strategia B per determinare con ragionamento gli intervalli di positività ($f(x) > 0$), di negatività ($f(x) < 0$) e i punti di intersezione con l'asse $X$.
2. b) Spiega quale difficoltà algebrica o perdita di tempo sorge cercando di applicare il passaggio del denominatore nella Strategia A nell'insieme dei numeri reali ($\mathbb{R}$).
3. c) Giustifica quale dei due metodi sia più sicuro ed efficiente per evitare errori quando compaiono espressioni quadratiche irriducibili nei denominatori.

Il costo medio mensile (in euro) per unità prodotta in una fabbrica di componenti elettronici è dato dalla funzione $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, dove $x$ è il numero di unità prodotte ($x > 0$). Determina il dominio nel contesto del problema, studia il suo segno e dimostra analiticamente in quali intervalli il costo medio è crescente o decrescente.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ abbia come dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ e intersechi l'asse delle ascisse nei punti $x = 4$ e $x = -4$.

Indica qual è il codominio (insieme immagine) della funzione quadratica $r(x) = x^2 + 4$.

Calcola la funzione inversa di $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ e usala per determinare il codominio (insieme immagine) della funzione $f(x)$.

Studia la simmetria (pari, dispari o nessuna) della funzione polinomiale $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determina analiticamente se la funzione $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ è pari, dispari o priva di simmetria.

Dimostra analiticamente che la funzione $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ è dispari e determina il suo dominio.

Progetta l'espressione analitica di una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi) che soddisfi simultaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il suo dominio esatto sia $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Sia una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse delle ordinate ($Y$).

3. Assuma esclusivamente valori strettamente negativi ($f(x) < 0$) per qualsiasi valore di $x$ appartenente al suo dominio.

Giustifica passo per passo come scegli il numeratore e il denominatore per garantire ogni condizione e spiega perché un denominatore semplice della forma $Q(x) = x^2 - 4$ non andrebbe bene se il numeratore fosse una costante negativa.

In un progetto di bioingegneria occorre modellizzare la risposta $R(x)$ di un biosensore in funzione di un parametro di controllo $x \in \mathbb{R}$. Si deve costruire la formula analitica di una funzione $f(x)$ che soddisfi simultaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo dominio esatto sia $\text{Dom}(f) = [-5, 5] \setminus \{0\}$.

2. Sia strettamente dispari in tutto il suo dominio: $f(-x) = -f(x)$.

3. Non abbia alcuna radice nel suo dominio (cioè $f(x) \ne 0$ per ogni $x \in \text{Dom}(f)$).

4. Assuma valori strettamente positivi quando $x \in (0, 5]$.

1. a) Proponi un'espressione algebrica per $f(x)$ combinando operazioni elementari (frazioni algebriche e radicali di indice pari). Giustifica come ogni elemento della tua formula assicura le condizioni richieste senza annullare le altre.
2. b) Dimostra analiticamente che la funzione che hai progettato soddisfa la condizione di simmetria dispari $f(-x) = -f(x)$.
3. c) Deduci con ragionamento il codominio (insieme immagine) della tua funzione nell'intervallo $(0, 5]$ e, basandoti sulla simmetria dispari, determina il codominio completo in tutto il suo dominio. Giustifica se la funzione è limitata superiormente analizzando che cosa accade quando $x$ si avvicina a $0$ da destra.

A partire dalla rappresentazione grafica della parabola $y = f(x)$, indica i suoi intervalli di crescenza e decrescenza, nonché le coordinate del suo estremo relativo.

Un proiettile viene lanciato verticalmente verso l'alto. L'altezza $h(t)$ in metri che raggiunge dopo $t$ secondi è data dalla funzione $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina in quale istante raggiunge l'altezza massima e qual è il valore di tale altezza.

Un agricoltore dispone di $100$ metri di recinzione per recintare un orto rettangolare sfruttando un muro di pietra già esistente (non serve recinzione su quel lato). Se $x$ è la lunghezza dei lati perpendicolari al muro, la funzione che descrive l'area è $A(x) = x(100-2x)$. Determina il dominio della funzione nel contesto del problema e calcola le dimensioni che massimizzano l'area.

Osserva il grafico della seguente funzione periodica che modellizza la tensione in un circuito elettronico. Determina il suo periodo $T$ e calcola il valore di $f(17)$.

In un rapporto dell'ARPA sull'inversione termica invernale in una valle di montagna del Trentino, la temperatura ambiente $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) è modellizzata in funzione dell'altitudine $h$ (misurata in centinaia di metri sul livello del mare, dove $h = 5$ rappresenta $500\text{ m}$) mediante la funzione:

1. a) Determina il dominio matematico della funzione $T(h)$ a partire dalla restrizione del radicale e confrontalo con il dominio fisico del fenomeno se il fondovalle si trova a $200\text{ m}$ ($h=2$) e la cima a $1000\text{ m}$ ($h=10$).
2. b) Senza ricorrere alle derivate, deduci il codominio (o insieme immagine) della funzione in tale valle ragionando sui valori massimo e minimo che può assumere il radicando. Quali sono le temperature minima e massima previste?
3. c) A quale altitudine si raggiunge la temperatura massima? Giustifica se la funzione presenta simmetria rispetto alla retta verticale $h = 6$ e interpreta il suo significato fisico nella distribuzione termica dei due versanti della valle.

Determina i coefficienti $a$, $b$ e $c$ della funzione quadratica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo vertice è il punto $V(3, -4)$ e che interseca l'asse delle ascisse in $x = 1$.

Una ruota panoramica ha un raggio di $10\text{ m}$, il suo centro si trova a $15\text{ m}$ da terra e gira a velocità costante impiegando $4\text{ min}$ per compiere un giro completo. Una cabina si trova nel suo punto più basso all'istante $t = 0\text{ min}$. Sapendo che l'altezza $h(t)$ in metri della cabina in funzione del tempo $t$ in minuti è modellizzata da una funzione trigonometrica, determina il suo periodo, le altezze massima e minima raggiunte dalla cabina e gli istanti in cui vengono raggiunte durante il primo ciclo completo.

A partire dal grafico della funzione $y = f(x)$, esegui un'analisi completa indicando: dominio, codominio, simmetria, equazioni degli asintoti, estremi relativi e intervalli di segno positivo e negativo.

Data la funzione con molteplici restrizioni operazionali $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x)}$:

1. a) Stima prima di operare:

• Senza risolvere disequazioni, rifletti: ha senso chiedersi se questa funzione sia pari o dispari? Argomenta la tua risposta analizzando i valori negativi di $x$ rispetto ai componenti della formula.

• Prevedi il segno che assumerà $f(x)$ per valori molto vicini a $0$ da destra (come $x = 0{,}1$) e per valori come $x = 2$. Giustifica la tua previsione richiamando le proprietà elementari dei logaritmi.

1. b) Calcola e formalizza:

• Determina con rigore il dominio di $f(x)$, impostando esplicitamente le tre condizioni necessarie (frazione, radicale di indice pari e logaritmo) e risolvendo la loro intersezione.

• Esegui lo studio formale del segno di $f(x)$ indicando gli intervalli esatti in cui $f(x) > 0$ e in cui $f(x) < 0$.

1. c) Valuta e confronta:

• Verifica se le tue stime iniziali di (a) concordano con il calcolo analitico di (b).

• Ragiona se la funzione ha radici (punti in cui $f(x) = 0$) e descrivi quale comportamento assume la funzione quando $x$ si avvicina a $1$ da sinistra e da destra.