Disequazioni di grado superiore al secondo
Una scatola a base quadrata ha il lato di base di $x$ dm e l'altezza di $(x+3)$ dm. Per quali valori di $x$ il volume è almeno 4 dm³? Il volume è $x^2(x+3)=x^3+3x^2$: la disequazione è di terzo grado e la formula risolutiva del secondo grado non basta. Serve un metodo nuovo, che in realtà è già nelle tue mani: scomporre e studiare il segno.
Il segno di un prodotto: lo schema dei segni
Un prodotto di fattori è positivo se ha un numero pari di fattori negativi, negativo se ne ha un numero dispari. Questa è l'idea di tutta la pagina.
Se un polinomio è scritto come prodotto di fattori di primo grado, basta studiare il segno di ciascun fattore e poi «moltiplicare i segni» colonna per colonna. Il risultato si legge in uno schema dei segni.
Un trucco per controllare: nell'intervallo più a destra tutti i fattori $(x-a)$ sono positivi, quindi il prodotto è sempre $+$. Andando verso sinistra il segno cambia a ogni zero di molteplicità dispari.
Se la disuguaglianza è larga ($\ge$ o $\le$), gli zeri del polinomio fanno parte della soluzione e si scrivono con la parentesi quadra chiusa.
Osserva il grafico: dove la curva sta sopra l'asse $x$ il polinomio è positivo, e i punti in cui lo attraversa sono proprio $-2$, $1$ e $3$.
Risolvi la disequazione: $(x-1)(x+2)(x-3) < 0$
Risolvi la disequazione:
$(x-1)(x+2)(x-3) < 0$
Risolvi la disequazione scomponendo e studiando il segno: $x^3 - 4x \ge 0$
Risolvi la disequazione scomponendo e studiando il segno:
$x^3 - 4x \ge 0$
Come scomporre: raccoglimento, biquadratiche, Ruffini
Il passo difficile è il secondo: ottenere i fattori. Ricorda gli strumenti già visti.
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Raccoglimento totale: $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$.
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Raccoglimento parziale: $x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)$.
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Biquadratica ($ax^4+bx^2+c$): con $t=x^2$ diventa un trinomio di secondo grado in $t$, che si scompone e poi si torna a $x$: $x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)$.
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Regola di Ruffini: se $P(a)=0$, allora $P(x)=(x-a)\,Q(x)$ e il quoziente $Q$ si trova con lo schema di Ruffini. I candidati $a$ sono i divisori del termine noto (se il coefficiente direttivo è 1).
Risolvi la disequazione: $x^4 - 5x^2 + 4 > 0$
Risolvi la disequazione:
$x^4 - 5x^2 + 4 > 0$
Risolvi la disequazione: $x^3 + x^2 - 4x - 4 > 0$
Risolvi la disequazione:
$x^3 + x^2 - 4x - 4 > 0$
Risolvi la disequazione utilizzando la regola di Ruffini: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \le 0$
Risolvi la disequazione utilizzando la regola di Ruffini:
$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \le 0$
Disequazioni fratte di grado superiore
Quando c'è un denominatore non si moltiplica per esso, perché il suo segno cambia con $x$. Si studia invece il segno del numeratore $N(x)$ e del denominatore $D(x)$ e si calcola il segno del quoziente: valgono le stesse regole del prodotto.
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Gli zeri del denominatore non sono mai accettabili (C.E.): si scrivono con parentesi aperta.
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Gli zeri del numeratore sono accettabili solo se la disuguaglianza è larga.
Risolvi la disequazione: $\frac{x^3 - 8}{x^2 - 1} \ge 0$
Risolvi la disequazione:
$\frac{x^3 - 8}{x^2 - 1} \ge 0$
Sistemi, parametri e problemi
Sistemi di disequazioni. Si risolve ciascuna disequazione e si fa l'intersezione delle soluzioni, ad esempio su due rette numeriche sovrapposte.
Problemi con parametro. Se una condizione deve valere «per ogni $x$» in un insieme, studia prima il segno dei fattori che non dipendono dal parametro, poi riduci il problema a una disuguaglianza sul parametro.
Problemi con grandezze reali. Qui compare anche il vincolo del contesto (una lunghezza è positiva).
Torna all'inizio, cioè alla scatola: il volume è almeno 4 dm³ quando $x\ge1$ dm, e rimane sotto i 100 dm³ fino a circa $3{,}83$ dm.
Risolvi il sistema di disequazioni: $\begin{cases} x^4 - 3x^2 - 4 \le 0 \\ x^3 - x^2 - 6x > 0 \end{cases}$
Risolvi il sistema di disequazioni:
$\begin{cases} x^4 - 3x^2 - 4 \le 0 \\ x^3 - x^2 - 6x > 0 \end{cases}$
Determina per quali valori del parametro reale $k$ il polinomio $P(x) = x^3 - kx$ è non negativo per ogni $x \ge 2$. Giustifica la risposta.
Determina per quali valori del parametro reale $k$ il polinomio $P(x) = x^3 - kx$ è non negativo per ogni $x \ge 2$. Giustifica la risposta.
Un contenitore a forma di parallelepipedo a base quadrata di lato $x$ (in dm) ha altezza $x + 3$ dm. Determina per quali valori di $x$ il volume è compreso tra 4 dm³ e…
Un contenitore a forma di parallelepipedo a base quadrata di lato $x$ (in dm) ha altezza $x + 3$ dm. Determina per quali valori di $x$ il volume è compreso tra 4 dm³ e 100 dm³ ... più precisamente, risolvi $x^2(x+3) \ge 4$ e $x^2(x+3) \le 100$ e indica l'intervallo di valori ammissibili di $x$ (con approssimazione dove necessario, giustificando con la fattorizzazione per la prima disequazione).
In sintesi
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Una disequazione di grado superiore al secondo si porta a $P(x)\gtrless0$ e si scompone il polinomio (raccoglimento, biquadratica, Ruffini).
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Si studia il segno di ogni fattore e si riportano i segni in uno schema dei segni: il prodotto è $+$ con un numero pari di fattori negativi.
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Un fattore sempre positivo (ad esempio $x^2+1$) non influisce sul segno; non si divide mai per espressioni di segno ignoto.
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Nelle disequazioni fratte si studia il segno di numeratore e denominatore; gli zeri del denominatore si escludono sempre.
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Nei sistemi si intersecano le soluzioni; nei problemi con parametro si riduce la condizione a una disuguaglianza sul parametro; nei problemi reali si tengono i vincoli del contesto.