Distribuzioni condizionate in statistica doppia

Tabella a doppia entrata e distribuzioni marginali

Quando su ogni individuo rileviamo due caratteri, $X$ e $Y$, i dati si riassumono in una tabella a doppia entrata: la cella $(i, j)$ contiene la frequenza assoluta congiunta $n_{ij}$, cioè quanti individui hanno insieme il valore $x_i$ e il valore $y_j$.

Le somme delle righe e delle colonne si scrivono ai margini e formano le distribuzioni marginali. Il totale generale è $N$.

Le frequenze relative marginali si ottengono dividendo per $N$: la frequenza relativa di «sport: sì» è $\frac{16}{25} = 0{,}64 = 64\%$.

Distribuzioni condizionate

Se ci interessano solo le femmine, restringiamo l'attenzione alla riga «Femmine» e dividiamo ogni frequenza per il totale di quella riga.

L'insieme delle frequenze $f(y_1\mid x_i), f(y_2\mid x_i), \dots$ è la distribuzione condizionata di $Y$ dato $X = x_i$. Ha sempre somma 1: è una vera distribuzione, con denominatore diverso dal totale $N$.

Costruire la tabella dai dati percentuali

A volte i dati arrivano come percentuali, e la tabella va ricostruita: si passa dalle percentuali alle frequenze assolute moltiplicando per il totale a cui si riferiscono.

Indipendenza statistica

Se sapere il valore di $X$ non cambia la distribuzione di $Y$, i due caratteri non sono legati. Nell'esempio sullo sport: marginale 64 % di «sì», ma 60 % tra le femmine e 70 % tra i maschi. Le percentuali sono diverse, quindi i caratteri risultano dipendenti (anche se poco).

Perché è equivalente? Da $\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}} = \frac{n_{\cdot j}}{N}$ si ricava subito $n_{ij}=\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{N}$. Le frequenze «attese» in caso di indipendenza si calcolano così.

Per una tabella $2\times2$ con frequenze $a, b, c, d$ l'indipendenza equivale a righe proporzionali: $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$, cioè $ad = bc$.

Medie ponderate e paradosso di composizione

Se conosci le condizionate e i totali di gruppo, la distribuzione marginale si ottiene come media ponderata delle condizionate, con pesi uguali alle dimensioni dei gruppi.

Vuoi riprendere l'esempio iniziale? Tra tutti gli studenti il 64 % pratica sport; tra le femmine il 60 %, tra i maschi il 70 %: la percentuale cambia, ma di poco.

In sintesi

• La tabella a doppia entrata contiene le frequenze congiunte $n_{ij}$; i totali ai margini danno le distribuzioni marginali.

• $f(y_j\mid x_i)=\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}}$: si divide per il totale della riga (o della colonna) su cui si condiziona.

• Ogni distribuzione condizionata ha somma 1.

• $X$ e $Y$ sono indipendenti se le condizionate coincidono con la marginale, ossia $n_{ij}=\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{N}$; in una tabella $2\times2$, se $ad=bc$.

• La marginale è la media ponderata delle condizionate, con pesi le numerosità dei gruppi.