Problemi sulle coniche

Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza la cui equazione generale è $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.

Determina la lunghezza dei semiassi, le coordinate dei fuochi e l'eccentricità dell'ellisse di equazione $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

Data l'iperbole di equazione $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina i suoi vertici, i suoi fuochi e le equazioni dei suoi asintoti.

Trova le coordinate del vertice, del fuoco e l'equazione della retta direttrice della parabola $y^2 = -20x$.

Data la conica di equazione generale $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$, classificala completando i quadrati e determina le coordinate del suo centro, dei suoi vertici, dei suoi fuochi e il valore della sua eccentricità.

Determina l'equazione dell'asse del segmento i cui estremi sono i punti $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$.

Identifica il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze, in valore assoluto, dai punti $F_1(5, 0)$ e $F_2(-5, 0)$ è sempre uguale a $8$. Scrivi la sua equazione ridotta.

Un drone sottomarino si muove in modo tale che la sua distanza da una boa fissa in $A(-2, 0)$ sia sempre il doppio della sua distanza da un'altra boa fissa in $B(4, 0)$. Determina l'equazione della traiettoria del drone, semplificala e identifica quale tipo di curva geometrica descrive.

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza dal punto fisso $F(4, 0)$ è uguale alla metà della loro distanza dalla retta verticale $x = 16$. Identifica la conica ottenuta, determina i suoi semiassi e rappresentala graficamente illustrando la proprietà della direttrice.

Una circonferenza ha il centro nel punto $C(-3, 5)$ e passa per l'origine delle coordinate. Scrivi la sua equazione ridotta e la sua equazione generale.

Tre stazioni sismiche rilevano un terremoto nelle coordinate $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ e $C(5, -2)$ (in chilometri). Supponendo che le onde sismiche viaggino alla stessa velocità e arrivino contemporaneamente alle tre stazioni, determina le coordinate dell'epicentro e il raggio della zona interessata (distanza dalle stazioni).

Un satellite descrive un'orbita ellittica attorno a un pianeta, che si trova in uno dei suoi fuochi. La distanza minima del satellite dal pianeta (periastro) è di $3 \text{ Mm}$ e la distanza massima (apoastro) è di $9 \text{ Mm}$. Determina l'equazione dell'orbita e la sua eccentricità, supponendo che il centro dell'ellisse sia nell'origine e l'asse focale coincida con l'asse delle ascisse.

La sezione trasversale di una torre di raffreddamento nucleare ha forma di iperbole. La parte più stretta della torre misura $40 \text{ m}$ di larghezza e si trova a $50 \text{ m}$ di altezza dal suolo. Se la base della torre ha una larghezza di $80 \text{ m}$, determina l'equazione dell'iperbole supponendo che il suo centro coincida con il centro della parte più stretta.

Il cavo principale di un ponte sospeso assume forma parabolica. Le due torri che lo sostengono sono distanti $120 \text{ m}$ e hanno un'altezza di $40 \text{ m}$ sopra l'impalcato del ponte. Il punto più basso del cavo si trova a $10 \text{ m}$ sopra l'impalcato. Determina l'equazione della parabola e calcola l'altezza del cavo a $30 \text{ m}$ dal centro del ponte.

Sfida del tema. Missione di salvataggio orbitale: dall'ellisse all'iperbole.

Il tuo obiettivo è modellizzare la traiettoria di un corpo celeste e analizzare formalmente le sue transizioni coniche.

1. Raccolta dei dati: Accedi al database JPL Small-Body Database della NASA e seleziona una cometa o un asteroide vicino alla Terra. Annota il suo semiasse maggiore $a$ (in UA, ad es. $1,45\text{ UA}$) e la sua eccentricità $e$.

2. Costruzione in GeoGebra: Definisci l'ellisse come luogo geometrico a partire dai suoi fuochi. Deduci la sua equazione canonica $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, calcolando $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Rappresenta anche la circonferenza direttrice associata di raggio $a$.

3. Limiti e continuità: Modellizza l'eccentricità come funzione continua $e(c)=\frac{c}{a}$ in $[0, a]$. Giustifica la sua continuità e calcola $\lim_{c \to 0} e(c)$ per spiegare geometricamente il caso limite della circonferenza. Valuta cosa succede se una perturbazione fa aumentare $e > 1$, trasformando l'orbita in un'iperbole di fuga; determina analiticamente i suoi asintoti $y = \pm \frac{b}{a}x$, ridefinendo per l'iperbole $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ il parametro $b=\sqrt{c^2-a^2}$ (ora $c>a$).

4. Prodotto finale: Elabora una relazione sintetica (massimo due pagine) con il file o gli screenshot di GeoGebra, gli sviluppi algebrici e le tue conclusioni fisiche.

Verrà valutato:

• Precisione nella modellizzazione delle coniche a partire dai dati astronomici reali.

• Rigore algebrico nella deduzione dei luoghi geometrici, nella continuità e nel calcolo dei limiti.

• Qualità analitica e giustificazione geometrica delle transizioni orbitali nella relazione.

Un radar marittimo ha una portata di rilevamento modellizzata dal cerchio $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Una nave segue una traiettoria rettilinea data dall'equazione $3x + 4y + k = 0$. Determina i valori del parametro $k$ per i quali la nave viene rilevata dal radar in qualche momento della sua traiettoria.

Un raggio laser incide su uno specchio ellittico la cui forma è data dall'equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. Il punto di incidenza ha ascissa $x = 3$ e ordinata positiva. Determina l'equazione della retta tangente allo specchio in tale punto.

Calcola i punti di intersezione tra la circonferenza $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ e la retta $x - y - 2 = 0$. Rappresenta graficamente la situazione mostrando entrambi i luoghi geometrici e i punti di intersezione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera l'ellisse di equazione ridotta $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ e la retta $r: x + y - 4 = 0$.

1. a) Prima di operare algebricamente, fai una stima geometrica motivata: determina i quattro vertici dell'ellisse, trova i punti di intersezione della retta $r$ con gli assi coordinati e deduci in modo giustificato se la retta è esterna, tangente o secante all'ellisse, indicando se ti aspetti di trovare zero, uno o due punti di intersezione.
2. b) Verifica la tua stima mediante il metodo analitico: imposta il sistema di equazioni, sostituisci la retta nell'ellisse, calcola il discriminante ($\Delta$) dell'equazione di secondo grado risultante e interpreta il suo segno. Infine, determina le coordinate esatte dei punti di contatto per confermare se la tua previsione iniziale era corretta.

Da una stazione di controllo situata nel punto $P(0, 7)$ vengono inviati segnali laser a un satellite la cui orbita circolare in quell'istante è data dall'equazione $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Determina le equazioni delle due traiettorie rettilinee tangenti all'orbita dalla stazione di controllo.

Per determinare le rette tangenti alla circonferenza $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ condotte dal punto esterno $P(5, 5)$, si propongono due percorsi metodologici:

• Metodo A (Algebrico generale): Scrivere il fascio di rette passanti per $P$, $y - 5 = m(x - 5)$, sostituire nella conica e imporre che il discriminante dell'equazione di secondo grado risultante sia nullo ($\Delta = 0$).

• Metodo B (Geometrico metrico): Ottenere il centro $C$ e il raggio $R$ della circonferenza completando i quadrati, e imporre che la distanza del centro dalla retta generica $mx - y + (5 - 5m) = 0$ sia uguale al raggio ($d(C, r) = R$).

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi in modo completo per ottenere i valori dei coefficienti angolari $m$ e scrivi le equazioni generali delle due tangenti risultanti.
2. b) Confronta criticamente i due metodi: quale dei due risulta notevolmente più agile e con minor carico di calcolo in questo caso? Potresti applicare il Metodo B con la stessa semplicità se la conica fosse un'ellisse della forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$? Giustifica la tua risposta a partire dalle proprietà geometriche delle due curve.

Scrivi le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette $r: 3x - 4y + 12 = 0$ e $s: 5x + 12y - 10 = 0$.

In un compito di Geometria analitica, Marco trova il seguente enunciato: «Determina il luogo geometrico dei punti $P(x, y)$ del piano la cui distanza dal punto $A(-3, 0)$ è esattamente il triplo della loro distanza dal punto $B(1, 0)$». Senza fare calcoli, Marco afferma: «Poiché intervengono due punti fissi che fungono da fuochi e una costante di proporzionalità, la curva risultante è con assoluta certezza un'ellisse con fuochi in $A$ e $B$».

1. a) Spiega in modo motivato l'errore concettuale commesso da Marco a partire dalla rigorosa definizione metrica di ellisse rispetto alla condizione data nell'enunciato.
2. b) Imposta analiticamente la condizione dell'enunciato ($d(P, A) = 3 \cdot d(P, B)$), elimina i radicali e ottieni l'equazione ridotta o canonica della conica per dimostrare a Marco quale figura geometrica si ottiene realmente, specificando le coordinate del suo centro e il valore del suo raggio.

Progetta e costruisci, giustificando la scelta di ciascun parametro, l'equazione generale di una conica della forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ con coefficienti interi che soddisfi simultaneamente le seguenti tre condizioni:

1) È un'iperbole equilatera (i suoi asintoti sono perpendicolari tra loro e vale $a = b$).

2) Il suo centro è situato nel punto $C(2, -1)$.

3) Passa per l'origine delle coordinate $(0, 0)$.

Una volta ottenuta l'equazione generale sviluppata, spiega dettagliatamente quale relazione tra i segni e i valori dei coefficienti $A$ e $B$ garantisce che la conica sia un'iperbole e perché i suoi asintoti risultano perpendicolari.

Ispirandosi alla celebre acustica dell'«Orecchio di Dionisio» di Siracusa, una sala di divulgazione scientifica ha una volta a sezione semiellittica per sfruttare la proprietà acustica focale: qualsiasi sussurro emesso da uno dei suoi fuochi rimbalza sul soffitto e si sente con nitidezza nell'altro fuoco. La base orizzontale del pavimento misura $10\text{ m}$ di larghezza (asse maggiore coincidente con il pavimento) e l'altezza massima al centro della sala è di $3\text{ m}$.

1. a) Poni l'origine delle coordinate nel centro del pavimento e scrivi l'equazione ridotta dell'ellisse che modellizza la sezione del soffitto, identificando i semiassi $a$ e $b$.
2. b) A quale distanza esatta dalle pareti laterali devono mettersi in piedi due visitatori per trovarsi sui fuochi acustici e sperimentare il fenomeno?
3. c) Una scultura verticale alta $2,5\text{ m}$ verrà collocata in piedi sul pavimento a una distanza orizzontale di $3\text{ m}$ dal centro della sala. Giustifica, calcolando l'altezza del soffitto in quel punto, se la scultura toccherà o meno il soffitto.

Una cometa segue una traiettoria parabolica data dall'equazione $y^2 = 8x$. Un asteroide segue un'orbita iperbolica equilatera descritta da $x^2 - y^2 = 9$. Determina le coordinate esatte dei punti di intersezione delle due traiettorie.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano $P(x, y)$ tali che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette che li uniscono ai punti fissi $A(-4, 0)$ e $B(4, 0)$ sia uguale a $-\frac{9}{16}$. Identifica la conica ottenuta, calcola la sua eccentricità e rappresentala graficamente.

Un faro di automobile ha una sezione trasversale parabolica. La lampadina si trova nel fuoco $F(3, 0)$ e il vertice della parabola è nell'origine delle coordinate. Un raggio di luce esce dalla lampadina, incide sulla parabola in un punto di ordinata $y = 6$ e viene riflesso. Calcola l'equazione della retta tangente nel punto di incidenza e determina l'angolo formato dal raggio incidente con tale tangente.

Due reti di telecomunicazioni hanno aree di copertura modellizzate dalle circonferenze $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ e $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Determina l'equazione dell'asse radicale, dimostra analiticamente che le circonferenze sono secanti e calcola la distanza esatta tra i loro punti di intersezione.

Una particella subatomica si muove in un campo magnetico descrivendo una traiettoria iperbolica equilatera i cui asintoti coincidono con gli assi coordinati. Sapendo che la particella passa per il punto $P(4, 2)$, risolvi:

1. a) Determina l'equazione della traiettoria.

1. b) Determina le coordinate esatte dei vertici e dei fuochi.

1. c) Rappresenta graficamente la curva (nella figura hai gli assi e il punto $P$; puoi copiarla sul quaderno).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il centro di Salvamento Marittimo di Finisterre (Galizia) monitora la traiettoria di una boa alla deriva nell'oceano mediante due stazioni fisse situate in $A(-5, 0)$ e $B(5, 0)$ (coordinate in chilometri).

1. a) In una prima fase, la boa $P(x, y)$ emette impulsi acustici che arrivano a $B$ prima che a $A$, mantenendosi costante la differenza delle distanze dalle due stazioni: $d(P, A) - d(P, B) = 6\text{ km}$. Identifica con una motivazione su quale tipo di conica e su quale dei suoi due rami si muove la boa, deduci i suoi parametri ($a, b, c$) e scrivi la sua equazione canonica.
2. b) In una seconda fase, la boa entra nell'area litoranea di fronte a una linea retta di costa descritta da $r: x = -7$. I sensori registrano che in quel tratto la boa si muove mantenendo in ogni istante la stessa distanza dalla stazione $A(-5, 0)$ e dalla linea di costa $r$. Identifica questa seconda conica, determina le coordinate del suo vertice, del suo fuoco e il suo parametro $p$, e ottieni la sua equazione canonica.
3. c) Determina analiticamente le coordinate dei punti in cui possono essersi incrociate le due traiettorie registrate (intersezione delle due coniche nella regione $x > 0$) e discuti la coerenza geometrica delle soluzioni ottenute.

Un radar marittimo ha una portata di rilevamento modellizzata dal cerchio $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Una nave segue una traiettoria rettilinea data dall'equazione $3x + 4y + k = 0$. Determina i valori del parametro $k$ per i quali la nave viene rilevata dal radar in qualche momento della sua traiettoria.