Fasci di rette propri e impropri
Tieni ferma la punta di una matita su un punto del foglio e falla ruotare: la matita descrive una retta diversa a ogni giro, ma tutte passano per lo stesso punto. Quante sono? Infinite. Come si scrive con una sola equazione l'insieme di tutte queste rette? E come si sceglie quella che serve a un problema? Lo scopriamo in questo paragrafo.
Il fascio improprio
Prendi la retta $y = 2x$ e spostala verso l'alto o verso il basso, senza ruotarla. Ottieni rette sempre parallele, con lo stesso coefficiente angolare $m = 2$ e diverso termine noto $q$.
Se la direzione ha coefficiente angolare $m$, il fascio si scrive
$$y = mx + k,\qquad k \in \mathbb{R},$$dove $m$ è fisso e il parametro $k$ è il termine noto. In forma implicita, partendo da $ax + by + c = 0$:
$$ax + by + k = 0.$$Perché funziona? Le rette parallele hanno gli stessi coefficienti $a$ e $b$, quindi hanno lo stesso coefficiente angolare $-\tfrac{a}{b}$. Cambia solo il termine noto. Le rette verticali formano il fascio improprio $x = k$.
Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $3x - 2y + 5 = 0$ e individua la retta del fascio passante per $P(4, 1)$.
Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $3x - 2y + 5 = 0$ e individua la retta del fascio passante per $P(4, 1)$.
Il fascio proprio
Se invece le rette passano tutte per uno stesso punto $C(x_0;\,y_0)$, il fascio è proprio e $C$ è il suo centro.
Perché? La retta per $C$ con coefficiente angolare $m$ ha esattamente questa equazione, e al variare di $m$ si ottengono tutte le direzioni possibili.
Questo spiega anche l'equazione $y = kx + 3$: si riscrive $y - 3 = k(x - 0)$, quindi è un fascio proprio di centro $(0;\,3)$, privo della retta verticale $x = 0$ (l'asse $y$).
Data l'equazione $y = kx + 3$ con $k$ parametro reale, stabilisci se rappresenta un fascio proprio o improprio, indicandone il centro o la direzione. Quale retta del…
Data l'equazione $y = kx + 3$ con $k$ parametro reale, stabilisci se rappresenta un fascio proprio o improprio, indicandone il centro o la direzione. Quale retta del fascio non è rappresentata dall'equazione?
Scrivi l'equazione del fascio di rette di centro $C(2, -1)$ e determina la retta del fascio che passa per l'origine.
Scrivi l'equazione del fascio di rette di centro $C(2, -1)$ e determina la retta del fascio che passa per l'origine.
Il fascio generato da due rette
Spesso il centro non è dato: si danno due rette che si incontrano in esso. Siano
$$r:\ ax + by + c = 0,\qquad s:\ a'x + b'y + c' = 0$$due rette incidenti in $C$. Il fascio che esse generano ha equazione
$$(ax + by + c) + k\,(a'x + b'y + c') = 0,\qquad k \in \mathbb{R}.$$Perché? Il punto $C$ annulla entrambe le parentesi, quindi annulla qualsiasi loro combinazione. Dunque ogni retta di questa equazione passa per $C$. Inoltre l'equazione è di primo grado in $x$ e $y$, quindi è una retta.
Per $k = 0$ si ottiene $r$. La retta $s$ si ha solo "per $k \to \infty$": con questa scrittura non è rappresentata (per averla si scrive $\lambda\,r + \mu\,s = 0$). Se $r$ e $s$ sono parallele, il fascio generato è improprio.
Date le rette $r: x + y - 3 = 0$ e $s: 2x - y = 0$, scrivi l'equazione del fascio da esse generato e determina la retta del fascio che passa per $A(1, 5)$.
Date le rette $r: x + y - 3 = 0$ e $s: 2x - y = 0$, scrivi l'equazione del fascio da esse generato e determina la retta del fascio che passa per $A(1, 5)$.
Problemi sul fascio: centro e condizioni
Spesso un fascio è dato come $(a_1 + a_2 k)x + (b_1 + b_2 k)y + (c_1 + c_2 k) = 0$ e serve capirlo. Il metodo è raccogliere $k$:
$$(a_1x + b_1y + c_1) + k(a_2x + b_2y + c_2) = 0.$$Si ottengono due rette generatrici, e il centro è la loro intersezione. Se non sono incidenti (cioè sono parallele), il fascio è improprio.
Una volta noto il fascio, ogni condizione diventa un'equazione in $k$:
| Condizione sulla retta $Ax + By + C = 0$ | Equazione in $k$ |
|---|---|
| passa per un punto $P$ | sostituisci le coordinate di $P$ |
| parallela all'asse $x$ | $A = 0$ |
| parallela all'asse $y$ | $B = 0$ |
| parallela a una retta di coefficiente $m'$ | $-\tfrac{A}{B} = m'$ |
| perpendicolare a una retta di coefficiente $m'$ | $-\tfrac{A}{B} \cdot m' = -1$ |
| passa per l'origine | $C = 0$ |
| distanza $d$ da un punto | $\dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = d$ |
Considera il fascio di equazione $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$. a) Determina il centro del fascio. b) Trova per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$. c)…
Considera il fascio di equazione $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$.
- a) Determina il centro del fascio.
- b) Trova per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$.
- c) Trova per quale valore di $k$ la retta è perpendicolare alla retta $y = 2x$.
Nel fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+1)y - 3k = 0$ determina la retta che ha distanza massima dall'origine e quella che ha distanza nulla dall'origine.
Nel fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+1)y - 3k = 0$ determina la retta che ha distanza massima dall'origine e quella che ha distanza nulla dall'origine.
Dato il fascio $(k-1)x + (k+2)y - 2k - 1 = 0$: a) dimostra che è un fascio proprio e trova il centro $C$; b) determina le rette del fascio che formano con gli assi…
Dato il fascio $(k-1)x + (k+2)y - 2k - 1 = 0$:
- a) dimostra che è un fascio proprio e trova il centro $C$;
- b) determina le rette del fascio che formano con gli assi cartesiani, nel primo quadrante, un triangolo di area 4;
- c) spiega se esiste una retta del fascio con distanza dall'origine uguale a $\sqrt{10}$, giustificando la risposta.
Il fascio di rette $(k+2)x - (k-1)y + 3k + 3 = 0$ contiene una retta parallela all'asse $y$ e una retta parallela all'asse $x$. a) Individua i valori di $k$…
Il fascio di rette $(k+2)x - (k-1)y + 3k + 3 = 0$ contiene una retta parallela all'asse $y$ e una retta parallela all'asse $x$.
- a) Individua i valori di $k$ corrispondenti.
- b) Determina il centro $C$ del fascio.
- c) Calcola l'area del triangolo formato dagli assi cartesiani e dalla retta del fascio con $k = 0$.
Fasci e tangenti a una parabola
Il fascio proprio serve anche a trovare le tangenti a una curva da un punto. Si mette a sistema il fascio con la curva e si studia $\Delta$ dell'equazione risolvente:
-
$\Delta > 0$: la retta è secante (due punti distinti);
-
$\Delta = 0$: la retta è tangente (due punti coincidenti);
-
$\Delta < 0$: la retta è esterna.
Il fascio di rette $y - 2 = m(x + 1)$ interseca la parabola $y = x^2 - 2x + 5$. a) Per quali valori di $m$ la retta è tangente alla parabola? b) Per quali valori di $m$…
Il fascio di rette $y - 2 = m(x + 1)$ interseca la parabola $y = x^2 - 2x + 5$.
- a) Per quali valori di $m$ la retta è tangente alla parabola?
- b) Per quali valori di $m$ la retta è secante in due punti distinti?
- c) Scrivi le equazioni delle rette tangenti e i punti di tangenza.
Torna all'inizio: la matita che ruota intorno a un punto è un fascio proprio, $y - y_0 = m(x - x_0)$. Un solo parametro descrive tutte le rette, e una condizione data (un punto, una direzione, una tangenza) fissa il valore giusto.
In sintesi
-
Un fascio improprio è formato da rette parallele: $y = mx + k$ oppure $ax + by + k = 0$.
-
Un fascio proprio di centro $C(x_0;\,y_0)$ è $y - y_0 = m(x - x_0)$, a cui va aggiunta la retta verticale $x = x_0$.
-
Date due rette incidenti $r$ e $s$, il fascio da esse generato è $r + k\,s = 0$; la retta $s$ non è rappresentata da questa scrittura.
-
Per trovare il centro: raccogli $k$ e risolvi il sistema delle due generatrici.
-
Ogni condizione (passaggio per un punto, parallelismo, perpendicolarità, distanza) dà un'equazione nel parametro.
-
Per le tangenti a una conica: sistema fascio-curva e $\Delta = 0$.