Funzione inversa
Per passare dai gradi Celsius ai gradi Fahrenheit si usa una formula; per fare il percorso contrario, da Fahrenheit a Celsius, serve un'altra formula, che «disfa» esattamente ciò che faceva la prima. Questa funzione che disfa un'altra funzione si chiama funzione inversa. In questa pagina impari quando esiste, come si calcola e come si riconosce sul grafico.
Iniettiva, suriettiva, biiettiva
Una funzione $f\colon A\to B$ associa a ogni $x\in A$ un solo valore $f(x)\in B$. Per poter «tornare indietro» servono due condizioni: che ogni valore di $B$ sia raggiunto, e che sia raggiunto da una sola $x$.
La funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ non ha funzione inversa su tutto $\mathbb{R}$ perché non è iniettiva. Restringi il suo dominio all'intervallo $[3, +\infty)$…
La funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ non ha funzione inversa su tutto $\mathbb{R}$ perché non è iniettiva. Restringi il suo dominio all'intervallo $[3, +\infty)$ e calcola l'espressione analitica della sua funzione inversa in tale intervallo.
Il consumo di carburante di un'automobile che percorre un'autostrada italiana a velocità costante è modellizzato dalla funzione $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$,…
Il consumo di carburante di un'automobile che percorre un'autostrada italiana a velocità costante è modellizzato dalla funzione $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, dove $v$ è la velocità del veicolo in $\text{km/h}$, ristretta all'intervallo regolamentare $[80, 120]$, e $C(v)$ è il consumo in litri ogni $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).
- a) Giustifica matematicamente, analizzando la monotonia di $C(v)$ nell'intervallo $[80, 120]$, perché la funzione è iniettiva in tale dominio e perché ciò garantisce l'esistenza della sua funzione inversa.
- b) Ricava l'espressione analitica della funzione inversa $v(C)$ e indica, motivando, il suo dominio di definizione e la sua interpretazione nel contesto della guida.
- c) Se il computer di bordo indica che il consumo medio in un tratto pianeggiante è stato $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utilizza la funzione $v(C)$ per determinare la velocità esatta a cui viaggiava il veicolo.
Come si calcola la funzione inversa
Trova l'espressione analitica della funzione inversa della funzione lineare $f(x) = 3x - 5$.
Trova l'espressione analitica della funzione inversa della funzione lineare $f(x) = 3x - 5$.
Determina la funzione inversa della funzione razionale $g(x) = \frac{4}{x+2}$.
Determina la funzione inversa della funzione razionale $g(x) = \frac{4}{x+2}$.
Ricava la funzione inversa della funzione esponenziale $f(x) = 2^{x-3}$.
Ricava la funzione inversa della funzione esponenziale $f(x) = 2^{x-3}$.
Il numero di utenti di una nuova app di messaggistica cresce secondo il modello $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, dove $t$ si misura in settimane e $U(t)$ in migliaia di…
Il numero di utenti di una nuova app di messaggistica cresce secondo il modello $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, dove $t$ si misura in settimane e $U(t)$ in migliaia di utenti. Determina la funzione inversa $t(U)$ e usala per calcolare quanto tempo esatto deve trascorrere perché l'app raggiunga i $3000$ migliaia di utenti (tre milioni).
Verificare con la composizione
Verifica, utilizzando la composizione di funzioni, se $f(x) = \frac{x+1}{2}$ e $g(x) = 2x - 1$ sono funzioni inverse. Devi verificare che $(f \circ g)(x) = x$ e che…
Verifica, utilizzando la composizione di funzioni, se $f(x) = \frac{x+1}{2}$ e $g(x) = 2x - 1$ sono funzioni inverse. Devi verificare che $(f \circ g)(x) = x$ e che $(g \circ f)(x) = x$.
Trova il valore del parametro $k$ affinché la funzione $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sia l'inversa di se stessa, ovvero affinché valga la condizione $f(f(x)) = x$ per…
Trova il valore del parametro $k$ affinché la funzione $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sia l'inversa di se stessa, ovvero affinché valga la condizione $f(f(x)) = x$ per ogni valore del suo dominio.
Simmetria rispetto a $y=x$, dominio e immagine
Dato il grafico della funzione esponenziale $f(x) = 2^x$, disegna sul quaderno gli assi cartesiani, la bisettrice del primo quadrante ($y = x$) e traccia il grafico…
Dato il grafico della funzione esponenziale $f(x) = 2^x$, disegna sul quaderno gli assi cartesiani, la bisettrice del primo quadrante ($y = x$) e traccia il grafico della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Individua le coordinate di almeno tre punti per cui passa $f^{-1}(x)$.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, trova la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Quindi calcola il dominio di $f(x)$ e il dominio di $f^{-1}(x)$, e…
Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, trova la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Quindi calcola il dominio di $f(x)$ e il dominio di $f^{-1}(x)$, e spiega la relazione che esiste tra questi domini e i codomini (insiemi immagine) delle due funzioni.
Sia data la funzione radicale $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ indicando chiaramente il suo dominio. Determina analiticamente i punti di…
Sia data la funzione radicale $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ indicando chiaramente il suo dominio. Determina analiticamente i punti di intersezione tra i grafici di $f(x)$ e $f^{-1}(x)$, sapendo che per simmetria tali punti devono trovarsi sulla retta $y = x$.
Torniamo all'inizio: se $F=\frac95 C+32$, per ottenere l'inversa ricaviamo $C$: sottraiamo $32$ e moltiplichiamo per $\frac59$, ottenendo $C=\frac59(F-32)$.