Il metodo di Gauss

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, che si trova già in forma a scalini, utilizzando il metodo di sostituzione all'indietro:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Risolvi il seguente sistema in cui mancano alcune incognite nelle equazioni, ordinandole opportunamente se lo ritieni necessario:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Trova il valore del coefficiente $a$ sapendo che la terna $(1, -1, 2)$ è soluzione del seguente sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Applica il metodo di Gauss per rendere triangolare e risolvere il seguente sistema di equazioni:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di Gauss, eliminando prima la variabile $x$ dalla seconda e dalla terza equazione:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Elena prova a ridurre a scalini il seguente sistema di equazioni lineari applicando il metodo di Gauss:

Nel primo passaggio elimina l'incognita $x$ dalla seconda e dalla terza equazione facendo $E_2 \leftarrow E_2 - 2E_1$ e $E_3 \leftarrow E_3 - 3E_1$, ottenendo correttamente:

Per il secondo passaggio, allo scopo di eliminare l'incognita $y$ dalla terza riga, Elena decide di sostituire $E_3$ con la combinazione $E_3 \leftarrow 3E_3 - 5E_1$.

1. a) Spiega in dettaglio perché l'operazione proposta da Elena è un errore concettuale nel metodo di Gauss e indica quale effetto indesiderato produce sulla riduzione a scalini del sistema.
2. b) Scrivi la trasformazione elementare corretta che Elena avrebbe dovuto applicare su $E_3$ utilizzando la seconda equazione.
3. c) Applica tale correzione, completa la riduzione a scalini e classifica il sistema in base al numero di soluzioni.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, operando prima con le frazioni per ottenere un sistema equivalente a coefficienti interi:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Senza doverlo risolvere completamente, classifica il seguente sistema a scalini (come determinato, indeterminato o impossibile) e giustifica la tua risposta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Scrivi la soluzione del seguente sistema a scalini in funzione di un parametro $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Risolvi il seguente sistema che contiene quattro equazioni e tre incognite. Indica se c'è qualche equazione ridondante o se il sistema è impossibile:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite e risolvilo con il metodo di Gauss: "Chiara ha il triplo dei soldi di Berta. Berta ha il doppio dei soldi di Ionut. In tutto e tre insieme hanno $27$ euro. Quanti soldi ha ciascuno?"

In un negozio di articoli sportivi si vendono tre tipi di palloni: da calcio, da basket e da pallavolo. Una scuola compra $2$ palloni da calcio, $1$ da basket e $1$ da pallavolo per $80$ euro. Un'altra scuola compra $1$ da calcio, $2$ da basket e $1$ da pallavolo per $85$ euro. Una terza scuola compra $1$ da calcio, $1$ da basket e $2$ da pallavolo per $75$ euro. Imposta un sistema di equazioni e risolvilo con il metodo di Gauss per calcolare il prezzo di ciascun tipo di pallone.

Trova i coefficienti $a$, $b$ e $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ e $C(2, 7)$.

La somma delle età di un nonno, di suo figlio e di suo nipote è $190$ anni. Il nonno ha il triplo dell'età del nipote. Inoltre, si sa che tra $10$ anni l'età del padre sarà il doppio dell'età che avrà il nipote in quel momento. Imposta un sistema di equazioni e trova le età attuali dei tre.

La somma delle tre cifre di un numero è $15$. Se si inverte l'ordine delle cifre, il numero ottenuto è maggiore di $198$ unità rispetto al numero originale. Inoltre, si sa che la cifra delle decine è la media aritmetica della cifra delle centinaia e della cifra delle unità. Imposta un sistema di equazioni e trova il numero originale.

Discuti la compatibilità del seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro $k$ e risolvilo nel caso in cui sia indeterminato:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Studia e discuti il seguente sistema di equazioni lineari al variare dei valori del parametro $m$. Risolvilo per $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

Discuti il seguente sistema e trova il valore o i valori di $a$ per i quali il sistema è indeterminato. Scrivi la soluzione generale per quel caso.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Considera il seguente sistema di equazioni lineari dipendente da due parametri reali $a$ e $b$, in cui ogni equazione rappresenta un piano nello spazio tridimensionale:

1. a) Riduci a scala il sistema con il metodo di Gauss mantenendo i parametri $a$ e $b$. A partire dall'equazione a scala risultante nell'ultima riga, classifica in modo motivato il sistema (determinato, indeterminato o impossibile) al variare dei valori che possono assumere $a$ e $b$.
2. b) Nel caso in cui il sistema è indeterminato, risolvilo esprimendo la soluzione generale in funzione di un parametro $\lambda \in \mathbb{R}$ e interpreta geometricamente la posizione reciproca dei tre piani.
3. c) Uno studente afferma: «Se fissiamo $a = 2$ e $b = 7$, il sistema risulta impossibile, il che dimostra necessariamente che il terzo piano è parallelo a uno dei primi due». Analizza la verità o falsità di questa affermazione esaminando i coefficienti delle equazioni originali e descrivi la reale configurazione geometrica dei tre piani in tale caso.

Geometricamente, un'equazione lineare in tre incognite rappresenta un piano nello spazio. Risolvi il sistema formato dai piani $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$, interpreta il risultato ottenuto e indica quale figura geometrica formano nella loro intersezione.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

Dimostra, utilizzando il metodo di Gauss, che il sistema di equazioni:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

è compatibile solo se vale la relazione $a + b = c$. Spiega il significato algebrico di questa condizione.

Immagina di trovarti di fronte al seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

Per applicare il metodo di Gauss, il primo obiettivo è fissare un pivot nella prima posizione della prima riga. Ti vengono presentate tre alternative di partenza:

• Strategia 1: mantenere l'ordine delle equazioni e operare con multipli incrociati ($E_2 \leftarrow 3E_2 - 2E_1$ e $E_3 \leftarrow 3E_3 - E_1$).

• Strategia 2: scambiare la prima e la terza riga ($E_1 \leftrightarrow E_3$) in modo che il coefficiente di $x$ sia $1$.

• Strategia 3: moltiplicare la prima riga per $\frac{1}{3}$ ($E_1 \leftarrow \frac{1}{3}E_1$) per semplificarla prima di scegliere il pivot.

1. a) Confronta le tre strategie spiegando quale risulta più vantaggiosa per ridurre al minimo le operazioni aritmetiche ed evitare la comparsa di numeri grandi o frazioni scomode.
2. b) Scegli la strategia che hai ritenuto ottimale e risolvi il sistema riducendolo a scalini con Gauss e applicando la sostituzione all'indietro.

In un laboratorio di chimica si dispone di tre soluzioni di uno stesso acido con concentrazioni del $10\%$, $20\%$ e $50\%$. Si vuole ottenere una miscela di $100$ litri con una concentrazione del $30\%$. Sapendo che il volume utilizzato della soluzione al $10\%$ deve essere uguale al volume della soluzione al $50\%$, imposta e risolvi un sistema mediante il metodo di Gauss per determinare quanti litri di ciascuna soluzione si devono miscelare.

Un'azienda investe un totale di $20000$ euro in tre diversi fondi di investimento, che offrono rendimenti annui del $4\%$, $5\%$ e $6\%$. Dopo un anno, gli interessi totali generati ammontano a $980$ euro. Se il denaro investito nel fondo al $5\%$ è il doppio di quello investito nel fondo al $6\%$, calcola quale somma è stata destinata a ciascun fondo utilizzando il metodo di Gauss.

In una partita di basket, una squadra ha segnato in totale $80$ punti con $42$ canestri (alcuni da $1$ punto, altri da $2$ punti e altri da $3$ punti). Sapendo che il numero di canestri da $2$ punti è uguale alla somma dei canestri da $1$ e $3$ punti più $6$, trova il numero di canestri di ciascun tipo.

Su un treno ad alta velocità di Trenitalia tra Roma e Napoli viaggiano $60$ persone in una carrozza passeggeri al completo, suddivise in tre tipi di biglietto: Base ($x$), Super Economy ($y$) e Premium ($z$).

L'incasso totale della carrozza ammonta a $2.550$ €. I prezzi di ciascun tipo di biglietto sono: $30$ € il biglietto Base, $45$ € il biglietto Super Economy e $70$ € il biglietto Premium.

Inoltre, la compagnia informa che il numero di passeggeri che viaggiano con biglietto Base è esattamente il doppio della somma di quelli che viaggiano con gli altri due biglietti insieme.

1. a) Modellizza la situazione impostando un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite.
2. b) Riduci a forma triangolare il sistema mediante il metodo di Gauss, illustrando con chiarezza ciascuna delle operazioni tra righe eseguite.
3. c) Risolvi il sistema a scalini e verifica se i valori ottenuti sono interi non negativi coerenti con il contesto reale del problema.

Vuoi costruire un'attività d'esame sul metodo di Gauss con discussione delle soluzioni. Per farlo, parti da due equazioni fisse:

Vuoi aggiungere una terza equazione della forma $3x + k\cdot y - z = c$ (dove $k$ e $c$ sono numeri reali) in modo che, riducendo il sistema a forma triangolare mediante le usuali combinazioni lineari, i coefficienti delle tre incognite nella terza equazione si annullino contemporaneamente ($0x + 0y + 0z$).

1. a) Applica le trasformazioni del metodo di Gauss trattando $k$ e $c$ come costanti e determina l'unico valore numerico che deve assumere $k$ affinché i coefficienti di $y$ e di $z$ si annullino contemporaneamente nella terza riga.
2. b) Trova l'espressione che rimane nel termine noto dopo tale passaggio e deduci quale valore deve avere $c$ affinché il sistema sia indeterminato.
3. c) Scrivi la soluzione generale del sistema indeterminato in funzione di un parametro $\lambda \in \mathbb{R}$ e giustifica che cosa accadrebbe geometricamente ai tre piani rappresentati dalle equazioni se $c$ assumesse un qualsiasi altro valore diverso da quello ottenuto.

Trova le soluzioni del seguente sistema di equazioni non lineari effettuando prima un opportuno cambio di variabile ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$

Tre macchine, $A$, $B$ e $C$, lavorano nella produzione di una fabbrica. Se lavorano insieme $A$ e $B$, finiscono un lotto in $12$ ore. Se lavorano $B$ e $C$, lo finiscono in $20$ ore. Se lavorano $A$ e $C$, lo finiscono in $15$ ore. Imposta un sistema di equazioni lineari (suggerimento: usa come incognite la frazione di lavoro che ogni macchina svolge in un'ora) e calcola quanto tempo impiegherebbe ciascuna macchina a produrre il lotto lavorando da sola.

Un laboratorio farmaceutico in Italia deve preparare esattamente $100\text{ ml}$ di un composto mescolando tre sostanze liquide: $A$, $B$ e $C$. Devono essere soddisfatte tre condizioni:

1. Il volume complessivo delle tre sostanze deve essere di $100\text{ ml}$.

2. Il costo per millilitro di ciascuna sostanza è di $1,50$ € per $A$, $2,00$ € per $B$ e $4,50$ € per $C$. Il budget totale esatto assegnato alla miscela è di $230$ € (il che comporta un costo medio complessivo di $2,30$ €/ml).

3. Per stabilità chimica, il volume della sostanza $C$ deve essere esattamente la quarta parte della somma dei volumi di $A$ e di $B$.

1. a) Fase di stima preliminare: deduci algebricamente, mettendo in relazione direttamente le condizioni 1 e 3 senza dover ancora impostare il metodo di Gauss, il volume esatto che deve avere la sostanza $C$. Sapendo che il costo medio della miscela è $2,30$ €/ml e che $C$ è il componente più caro ($4,50$ €/ml), stima in modo motivato se nella parte restante della miscela dovrà esserci un volume maggiore della sostanza $A$ ($1,50$ €/ml) o della $B$ ($2,00$ €/ml).
2. b) Fase di calcolo: modella il problema con un sistema lineare $3 \times 3$, riducilo a scala con il metodo di Gauss esplicitando ogni operazione sulle righe e ottieni i volumi esatti di ciascun liquido.
3. c) Fase di verifica: confronta il risultato del sistema con le tue stime del punto a) e valuta la coerenza pratica della soluzione trovata.