Statistica di base

Un ingegnere agronomo sta tarando un sensore di umidità del suolo. Le ultime 5 letture, in percentuale, sono: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcola la media aritmetica e la deviazione standard della popolazione di queste misurazioni.

Un analista del controllo qualità osserva gli errori di fabbricazione di 10 lotti di produzione. La media degli errori è $6,5$ e la varianza è $2,25$. In seguito, durante un controllo, si accorge che un errore di battitura ha registrato $2$ errori al posto di $8$ per uno dei lotti. Calcola la nuova media e la nuova varianza corrette senza dover conoscere i dati individuali degli altri 9 lotti.

Sono stati condotti due studi epidemiologici indipendenti sull'indice di massa corporea (IMC) in una regione. Il primo studio, con un campione di $40$ persone, ha ottenuto una media di $22$ e una varianza di $4$. Il secondo studio, con un campione di $60$ persone, ha ottenuto una media di $25$ e una varianza di $5$. Se i due studi si combinano in un unico campione aggregato di $100$ persone, calcola la media e la varianza di questo campione complessivo.

In uno studio sociologico sulle abitudini di lettura, sono state intervistate 50 persone sul loro sesso ($X$: $1$ per Uomo, $2$ per Donna) e se leggono più di un libro al mese ($Y$: $1$ per Sì, $2$ per No). La tabella delle frequenze assolute congiunte $n_{ij}$ è la seguente: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Costruisci la tabella della distribuzione marginale della variabile $Y$ e calcola le sue frequenze relative.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Da una tabella di frequenze congiunte di due variabili $X$ (numero di fratelli) e $Y$ (numero di animali domestici), si sa che la frequenza marginale assoluta di $X=1$ è $n_{1\bullet} = 40$. Di queste 40 persone, 15 hanno $Y=0$ animali, 20 hanno $Y=1$ animale e 5 hanno $Y=2$ animali. Calcola la distribuzione delle frequenze relative della variabile $Y$ condizionata a $X=1$.

Una clinica veterinaria classifica i cani visitati in un mese in base alla taglia ($X$: $1$ = Piccola, $2$ = Media, $3$ = Grande) e al numero di visite dal veterinario nell'ultimo anno ($Y$: $1, 2, 3$). La tabella delle frequenze congiunte $n_{ij}$ è:

• Per $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$

• Per $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$

• Per $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$

Calcola la media aritmetica e la varianza della distribuzione marginale del numero di visite ($Y$).

In uno studio di agronomia si analizzano la quantità di fertilizzante applicato in kg/ha ($X$) e la resa del raccolto in tonnellate/ha ($Y$). Si dispone della seguente tabella a doppia entrata per le frequenze congiunte $n_{ij}$:

Calcola la media e la deviazione standard della resa del raccolto condizionata all'applicazione di $20$ kg/ha di fertilizzante (cioè della distribuzione $Y | X=20$).

In uno studio sul rendimento in Matematica nel primo anno di liceo, si analizza la relazione tra l'uso abituale della calcolatrice grafica ($X$: Sì, No) e il risultato della valutazione finale ($Y$: Promosso, Respinto) su un campione di $50$ studenti di un liceo. I dati congiunti sono:

• Studenti che usano la calcolatrice e sono promossi: $18$

• Studenti che usano la calcolatrice e sono respinti: $2$

• Studenti che non usano la calcolatrice e sono promossi: $15$

• Studenti che non usano la calcolatrice e sono respinti: $15$

Carlo, un compagno di classe, afferma: «La percentuale di studenti promossi grazie all'uso della calcolatrice è del $36\,\%$, dato che $18/50 = 0{,}36$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale di Carlo nell'interpretare una frequenza relativa congiunta $f_{11}$ come se fosse una frequenza condizionata.
2. b) Imposta e calcola la frequenza relativa condizionata che risponde in modo rigoroso alla domanda: «Tra gli studenti che usano la calcolatrice grafica, qual è la percentuale di promossi?». Confronta questo valore con la percentuale globale di promossi nel campione e interpreta la differenza.

Si analizzano due variabili qualitative su un campione di $200$ turisti: continente di provenienza ($X$: Europeo, Americano, Asiatico) e tipo di alloggio ($Y$: Hotel, Appartamento). Le frequenze relative marginali sono: Europei $50\%$, Americani $30\%$, Asiatici $20\%$. Per l'alloggio: Hotel $60\%$, Appartamento $40\%$. Se si assume che le due variabili siano statisticamente indipendenti, quanti turisti del campione ci si aspetta che siano americani e alloggino contemporaneamente in un appartamento?

In una ricerca sulla relazione tra il numero di ore settimanali dedicate allo sport ($X$) e il livello di stress lavorativo ($Y$), si ottiene la seguente tabella di frequenze assolute congiunte, dove $k$ è un valore incognito:

Determina matematicamente il valore di $k$ affinché le variabili $X$ e $Y$ siano rigorosamente indipendenti dal punto di vista statistico.

I punteggi ottenuti dai 9 componenti di una squadra di ginnastica ritmica in una prova di flessibilità sono: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana e il primo quartile ($Q_1$) di questo insieme di dati.

In una stazione meteorologica la velocità massima giornaliera del vento ($X$, in km/h) è stata raggruppata nei seguenti intervalli: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, con frequenze assolute $5, 12, 8, 5$ rispettivamente. Utilizzando i valori centrali di ciascun intervallo, calcola la media aritmetica e la varianza della velocità del vento.

Osserva il seguente diagramma di dispersione che mette in relazione le ore di allenamento settimanali ($X$) e il tempo in secondi in una gara dei 100 metri piani ($Y$) di un gruppo di atleti. Indica se la correlazione tra le due variabili è diretta (positiva) o inversa (negativa) e stabilisci in modo visivo se la dipendenza lineare sembra forte o debole.

L'ufficio risorse umane di un'azienda di ingegneria ha raccolto dati sugli anni di esperienza ($X$) e sullo stipendio mensile in migliaia di euro ($Y$) dei suoi dipendenti. Sapendo che la media dell'esperienza è $\bar{x} = 5$ anni, lo stipendio medio è $\bar{y} = 2,5$ migliaia di euro, la dimensione del campione è $N = 20$ e la somma dei prodotti incrociati è $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra la forza applicata a una molla in Newton ($X$) e la sua lunghezza in centimetri ($Y$). Sapendo che le coppie di valori esatte sono $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ e $(4, 9)$, calcola la covarianza $\sigma_{xy}$ e verifica analiticamente se esiste una relazione funzionale esatta tra le due variabili.

Siano $X$ e $Y$ due variabili statistiche bidimensionali con medie $\bar{x}, \bar{y}$, deviazioni standard $\sigma_x, \sigma_y$ e covarianza $\sigma_{xy}$. Se si applica a entrambe le variabili una trasformazione lineare della forma $U = 3X - 2$ e $V = -2Y + 5$, dimostra analiticamente quale sarà il valore della nuova covarianza $\sigma_{uv}$ espressa in funzione di $\sigma_{xy}$.