Coefficiente di correlazione lineare
Giulia confronta le ore di studio settimanali e il voto in matematica di alcuni compagni di classe. La covarianza le dice che la relazione è positiva, ma quanto è forte? Se misurasse le ore in minuti, la covarianza cambierebbe di valore senza che i dati siano diversi. Serve un indice che non dipenda dalle unità di misura: è il coefficiente di correlazione.
Il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson
Le due rette di regressione hanno coefficienti angolari $m_{yx}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$ (di $Y$ su $X$) e $m_{xy}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}$ (di $X$ su $Y$). Moltiplicandoli si ottiene
$$m_{yx}\cdot m_{xy}=\frac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_x^2\sigma_y^2}=r^2,\qquad\text{quindi } r=\pm\sqrt{m_{yx}\cdot m_{xy}}$$con il segno di $\sigma_{xy}$, cioè dei due coefficienti angolari: positivo se la dipendenza è diretta, negativo se è inversa.
Perché è un numero puro? La covarianza ha come unità il prodotto delle unità di $X$ e di $Y$, e $\sigma_x\sigma_y$ ha la stessa unità: nel rapporto si semplificano.
Come si legge il valore: più $|r|$ è vicino a $1$, più i punti del diagramma di dispersione sono allineati su una retta; un valore vicino a $0$ indica poca relazione lineare.
| $\lvert r\rvert$ | Correlazione lineare |
|---|---|
| vicino a $0$ | debole o nulla |
| circa $0{,}5$ | moderata |
| vicino a $1$ | forte |
In uno studio sul rendimento dei pannelli solari si è calcolato che la covarianza tra la radiazione solare ricevuta ($X$) e l'energia prodotta ($Y$) è…
In uno studio sul rendimento dei pannelli solari si è calcolato che la covarianza tra la radiazione solare ricevuta ($X$) e l'energia prodotta ($Y$) è $\sigma_{xy} = 15,2$. Sapendo che le deviazioni standard sono $\sigma_x = 4,0$ e $\sigma_y = 3,9$, calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson e interpreta il risultato.
Classifica la forza (forte, moderata o debole/nulla) e il verso (positiva o negativa) della correlazione lineare per ciascuno dei seguenti coefficienti ottenuti in…
Classifica la forza (forte, moderata o debole/nulla) e il verso (positiva o negativa) della correlazione lineare per ciascuno dei seguenti coefficienti ottenuti in diversi studi statistici:
- a) $r = 0,98$
- b) $r = -0,12$
- c) $r = -0,85$
- d) $r = 0,55$
Un'azienda di logistica vuole studiare la relazione tra il peso delle spedizioni ($X$, in kg) e il costo del trasporto ($Y$, in euro). A tal fine seleziona un campione…
Un'azienda di logistica vuole studiare la relazione tra il peso delle spedizioni ($X$, in kg) e il costo del trasporto ($Y$, in euro). A tal fine seleziona un campione di 5 spedizioni, ottenendo i seguenti dati:
-
Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11
-
Costo ($Y$): 12, 15, 18, 25, 30
Calcola le medie, le deviazioni standard marginali, la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare. In base al risultato, il peso è un buon predittore lineare del costo del trasporto?
Invarianza per cambi di scala
Che cosa succede a $r$ se cambiamo unità di misura, per esempio da gradi Celsius a Fahrenheit? Si usa la variabile standardizzata $Z_x=\dfrac{X-\bar x}{\sigma_x}$, che ha media $0$ e deviazione standard $1$.
In generale, se $X'=aX+b$ e $Y'=cY+d$ con $a,c>0$, allora $r_{x'y'}=r_{xy}$. Se $a$ e $c$ hanno segni opposti, $r$ cambia segno ma non valore assoluto.
In uno studio di agronomia si è calcolato che il coefficiente di correlazione lineare tra la temperatura media mensile in gradi Celsius ($C$) e la produzione di una…
In uno studio di agronomia si è calcolato che il coefficiente di correlazione lineare tra la temperatura media mensile in gradi Celsius ($C$) e la produzione di una coltura in tonnellate ($P$) è $r = 0,82$. Se decidiamo di esprimere la temperatura in gradi Fahrenheit con la formula $F = 1,8C + 32$ e la produzione in chilogrammi mediante $K = 1000P$, qual è il nuovo coefficiente di correlazione tra $F$ e $K$? Giustifica la risposta in base alle proprietà matematiche di questo coefficiente.
Date due variabili statistiche $X$ e $Y$, si definiscono le corrispondenti variabili standardizzate $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ e…
Date due variabili statistiche $X$ e $Y$, si definiscono le corrispondenti variabili standardizzate $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ e $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Dimostra passo dopo passo che la covarianza tra le variabili standardizzate, $\sigma_{z_x z_y}$, è esattamente uguale al coefficiente di correlazione lineare $r_{xy}$ delle variabili originali.
Il caso limite $r=\pm1$ e la dipendenza lineare
Vale anche il viceversa: $|r|=1$ solo se tutti i punti sono su una retta.
Osserva i tre diagrammi di dispersione indicati con A, B e C. Associa ciascuno di essi al valore del coefficiente di correlazione lineare che meglio lo descrive,…
Osserva i tre diagrammi di dispersione indicati con A, B e C. Associa ciascuno di essi al valore del coefficiente di correlazione lineare che meglio lo descrive, scegliendo tra i seguenti valori: $r = -0,92$, $r = 0,05$ e $r = 0,95$.
Sia data una distribuzione bidimensionale $(X, Y)$ in cui la variabile $Y$ si ottiene dalla variabile $X$ mediante la trasformazione affine $Y = -4X + 7$, con $X$ non…
Sia data una distribuzione bidimensionale $(X, Y)$ in cui la variabile $Y$ si ottiene dalla variabile $X$ mediante la trasformazione affine $Y = -4X + 7$, con $X$ non costante ($\sigma_x > 0$). Dimostra analiticamente, usando le definizioni algebriche di covarianza e deviazione standard, che il coefficiente di correlazione lineare tra $X$ e $Y$ è esattamente $-1$.
Il seguente diagramma di dispersione rappresenta la relazione tra la temperatura di un reattore chimico ($X$, centrata in 0) e la resa della reazione ($Y$). I punti…
Il seguente diagramma di dispersione rappresenta la relazione tra la temperatura di un reattore chimico ($X$, centrata in 0) e la resa della reazione ($Y$). I punti registrati sono $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 4)$.
- a) Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson per questi dati.
- b) Alla luce del risultato matematico e del grafico allegato, spiega in dettaglio perché il coefficiente di correlazione assume quel valore nonostante esista una dipendenza funzionale esatta ($y = x^2$) tra le variabili.
Coefficiente di determinazione $r^2$
La varianza residua è la varianza dei punti attorno alla retta di regressione di $Y$ su $X$: $$\sigma_e^2=\sigma_y^2\,(1-r^2).$$ È la parte di $\sigma_y^2$ non spiegata dalla retta: se $r^2=1$ vale $0$.
Il coefficiente di determinazione di un modello matematico che mette in relazione l'età di un veicolo commerciale ($X$, in anni) con il suo valore di mercato ($Y$, in…
Il coefficiente di determinazione di un modello matematico che mette in relazione l'età di un veicolo commerciale ($X$, in anni) con il suo valore di mercato ($Y$, in euro) è $R^2 = 0,7225$. Sapendo che al crescere dell'età il valore del veicolo diminuisce, qual è il valore esatto del coefficiente di correlazione lineare $r$?
Un allenatore di pallacanestro analizza i minuti giocati ($X$) e i punti segnati ($Y$) da 6 dei suoi giocatori in una partita, ottenendo le seguenti coppie di dati:…
Un allenatore di pallacanestro analizza i minuti giocati ($X$) e i punti segnati ($Y$) da 6 dei suoi giocatori in una partita, ottenendo le seguenti coppie di dati: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcola il coefficiente di determinazione $R^2$ e spiega quale percentuale della variabilità dei punti segnati è spiegata linearmente dai minuti giocati.
Vuoi sapere se la domanda di Giulia ha risposta? Basta calcolare $r$ sui suoi dati: se è vicino a $1$, le ore di studio e il voto sono legati linearmente in modo forte, e $r^2$ dice quanta parte dei voti la retta riesce a spiegare.