Un drone di osservazione decolla e la centrale registra la sua altezza in ogni istante: $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Quell'espressione è un polinomio in $t$ e la curva che descrive il volo è il grafico di una funzione polinomiale. In questo paragrafo mettiamo ordine in ciò che già sai su rette e parabole: dominio, immagine, che cosa succede quando $x$ cresce senza limite, simmetrie, e come usare le radici per studiare il segno. Alla fine scoprirai a quale altezza massima arriva il drone.
Che cos'è una funzione polinomiale
Secondo il grado si hanno famiglie con proprietà diverse: grado $1$ è la funzione lineare (retta), grado $2$ la funzione quadratica (parabola), grado $3$ o più la funzione polinomiale di grado $n$. Il dominio è sempre $\mathbb{R}$, mentre l'immagine (o codominio effettivo) dipende dalla famiglia.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Calcola il valore del parametro $c$ affinché la funzione quadratica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi per il punto $(-1, 10)$.
Calcola il valore del parametro $c$ affinché la funzione quadratica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi per il punto $(-1, 10)$.
Determina i coefficienti $a$, $b$ e $c$ della funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(0, 3)$,…
Determina i coefficienti $a$, $b$ e $c$ della funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(0, 3)$, $(1, 4)$ e $(-1, 6)$.
Indica se la parabola data dalla funzione $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ ha la concavità rivolta verso il basso o verso l'alto e calcola le coordinate esatte del suo vertice.
Indica se la parabola data dalla funzione $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ ha la concavità rivolta verso il basso o verso l'alto e calcola le coordinate esatte del suo vertice.
Determina l'equazione della parabola che ha vertice nel punto $V(3, -2)$ e passa per il punto $P(5, 6)$. Esprimi il risultato nella forma $y = ax^2 + bx + c$.
Determina l'equazione della parabola che ha vertice nel punto $V(3, -2)$ e passa per il punto $P(5, 6)$. Esprimi il risultato nella forma $y = ax^2 + bx + c$.
Il grado e il segno del coefficiente direttivo determinano che cosa fa $f(x)$ quando $x\to+\infty$ e quando $x\to-\infty$. Qui i limiti si leggono in modo intuitivo: «$f(x)\to+\infty$» significa che i valori crescono oltre ogni numero.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Analizza il comportamento all'infinito della funzione polinomiale $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando il valore dei suoi limiti per $x \to +\infty$ e per…
Analizza il comportamento all'infinito della funzione polinomiale $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando il valore dei suoi limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$.
Una funzione polinomiale di terzo grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ è dispari. Sapendo che passa per i punti $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determina la sua espressione…
Una funzione polinomiale di terzo grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ è dispari. Sapendo che passa per i punti $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determina la sua espressione analitica e calcola tutte le sue intersezioni con gli assi coordinati.
Determina l'espressione analitica di un polinomio di terzo grado $P(x)$ le cui uniche radici sono $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sapendo inoltre che il suo grafico…
Determina l'espressione analitica di un polinomio di terzo grado $P(x)$ le cui uniche radici sono $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sapendo inoltre che il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, 16)$.
Due usi molto frequenti: trovare il massimo o minimo di una grandezza descritta da una parabola, e trovare dove si intersecano due grafici (dove due funzioni assumono lo stesso valore).
Esercitati★☆☆Da iniziare
L'altezza in metri di un drone di osservazione in funzione del tempo in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcola l'altezza a cui si trova il…
L'altezza in metri di un drone di osservazione in funzione del tempo in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcola l'altezza a cui si trova il drone negli istanti $t = 1$ e $t = 3$.
Un agricoltore dispone di $100$ metri di recinzione per recintare un orto rettangolare sfruttando la riva rettilinea di un fiume, per cui non occorre recintare quel…
Un agricoltore dispone di $100$ metri di recinzione per recintare un orto rettangolare sfruttando la riva rettilinea di un fiume, per cui non occorre recintare quel lato. Esprimi l'area dell'orto in funzione della larghezza $x$ perpendicolare al fiume e determina le dimensioni che rendono massima tale area.
Si lancia un proiettile verso l'alto in modo che la sua altezza in metri in funzione del tempo in secondi segua la funzione $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcola…
Si lancia un proiettile verso l'alto in modo che la sua altezza in metri in funzione del tempo in secondi segua la funzione $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcola l'altezza massima raggiunta dal proiettile e l'istante in cui avviene.
Torniamo al drone: per $h(t) = -5t^2+20t+2$ il vertice si ha in $t_V = -\dfrac{20}{2\cdot(-5)} = 2$ s e l'altezza massima è $h(2) = -5\cdot 2^2 + 20\cdot 2 + 2 = 22$ metri.
In sintesi
Mettiti alla prova! 10 esercizi di livello medio in questa sezione