Distribuzioni bidimensionali

Classifica le seguenti coppie di variabili statistiche bidimensionali in base al tipo di correlazione lineare (positiva, negativa o nulla) che è lecito aspettarsi tra di esse:

• Il peso di un veicolo e il suo consumo di carburante ogni 100 km.

• Il numero di ore di luce solare diretta e la quantità di energia prodotta da un pannello solare.

• Il numero di scarpe di un adulto e il suo stipendio mensile.

• Il tempo di uso continuato di un computer portatile e la percentuale di batteria residua.

In una fabbrica di componenti elettronici sono stati misurati il numero di difetti riscontrati in un lotto ($X$) e il turno di produzione ($Y$, dove 1 è mattina, 2 è pomeriggio e 3 è notte) nell'arco di 50 giorni. La tabella delle frequenze congiunte è la seguente:

Calcola la distribuzione marginale della variabile $X$ (numero di difetti) e determina la sua media aritmetica.

In una fabbrica di componenti elettronici sono stati misurati il numero di difetti riscontrati in un lotto ($X$) e il turno di produzione ($Y$, dove 1 è mattina, 2 è pomeriggio e 3 è notte) nell'arco di 50 giorni. La tabella delle frequenze congiunte è la seguente:

Ricava la distribuzione della variabile $X$ condizionata al fatto che la produzione sia avvenuta esclusivamente nel turno di notte ($Y=3$).

In una sperimentazione clinica, 100 pazienti sono stati classificati in base alla fascia di età ($X$, in anni) e al livello di colesterolo nel sangue ($Y$, in mg/dL), raggruppati in classi.

Calcola la media e la deviazione standard del livello di colesterolo esclusivamente per i pazienti della fascia di età $[40, 50)$. Usa i valori centrali delle classi per i tuoi calcoli.

In uno studio sulle prestazioni di 12 server sono stati registrati la quantità di memoria RAM assegnata in GB ($X$) e il numero di richieste elaborate al secondo ($Y$). Si sa che $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la media della RAM è $\bar{x} = 16$ GB e la media delle richieste è $\bar{y} = 22$. Calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

In una cooperativa agricola sono stati registrati la quantità di fertilizzante applicato in kg/ha ($X$) e la resa del raccolto in tonnellate/ha ($Y$) in 5 appezzamenti sperimentali:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcola le medie marginali, le varianze marginali e la covarianza di questa distribuzione bidimensionale.

In un impianto di confezionamento di olio extravergine di oliva a Bari si analizza la relazione tra il tempo di riempimento ($X$, in secondi) e il volume netto introdotto ($Y$, in centilitri) per $N = 4$ confezioni selezionate nel controllo di qualità. A causa di un guasto informatico due coordinate sono andate perdute e si dispone soltanto delle coppie $(2; 98)$, $(3; y_2)$, $(x_3; 100)$ e $(7; 102)$. Tuttavia, il registro generale conserva due parametri: il baricentro è $(\bar{x}, \bar{y}) = (4; 100)$ e la covarianza campionaria è $\sigma_{xy} = 2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$.

1. Deduci i valori perduti $x_3$ e $y_2$ utilizzando esclusivamente le proprietà delle medie marginali.

2. Con la serie completa dei quattro punti, verifica numericamente che la covarianza coincide con il dato del rapporto ($2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$).

3. Determina quale valore dovrebbe assumere l'ordinata del quarto punto (sostituendo $102$ con un nuovo valore $y_4$, mantenendo fissi $x_1, x_2, x_3, x_4$ e riaggiustando $y_2$ affinché la media $\bar{y} = 100$ non cambi) affinché la covarianza risulti esattamente uguale a $0\text{ s}\cdot\text{cl}$.

In un'analisi della relazione tra la spesa mensile in marketing digitale ($X$, in migliaia di euro) e i ricavi delle vendite ($Y$, in migliaia di euro), sono state ottenute le due rette di regressione. La retta di $Y$ su $X$ è $y = 2,5x + 10$ e la retta di $X$ su $Y$ è $x = 0,36y - 2$. Determina il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ di questa distribuzione bidimensionale.

L'ufficio risorse umane di un'azienda di software ha stabilito che la retta di regressione che mette in relazione gli anni di esperienza ($X$) con lo stipendio mensile in euro ($Y$) dei suoi programmatori è $y = 85x + 1200$. Stima lo stipendio mensile di un dipendente con 5 anni di esperienza.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra la temperatura applicata a una lega metallica ($X$, in $^\circ\text{C}$) e la sua dilatazione termica ($Y$, in mm). A partire dalla rappresentazione visiva della nuvola di punti e della retta di regressione, stima il valore dell'ordinata all'origine e del coefficiente angolare della retta. Poi prevedi la dilatazione per una temperatura di $80^\circ\text{C}$.

Una piattaforma di commercio elettronico ha modellizzato la relazione tra il numero di visite giornaliere alla pagina di un prodotto ($X$) e il numero di unità vendute ($Y$) mediante la retta di regressione $y = 0,04x + 2,5$. Il coefficiente di correlazione è $r = 0,91$ e l'intervallo di visite nel campione studiato va da 100 a 500.

1. a) Stima le vendite se un prodotto riceve 350 visite.
2. b) Stima le vendite se un prodotto riceve 2000 visite.
3. c) Discuti l'affidabilità di entrambe le previsioni in base ai dati forniti.

In uno studio sulla relazione tra la precipitazione annua ($X$, in mm) e la produzione di grano ($Y$, in tonnellate per ettaro), si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,15x - 12$. Se la media delle precipitazioni è $\bar{x} = 400$ mm e il coefficiente di correlazione è $r = 0,75$, trova l'equazione della retta di regressione di $X$ su $Y$.

In un'analisi sociodemografica sono state ottenute le due rette di regressione che mettono in relazione il tasso di natalità ($X$, per mille) e la speranza di vita ($Y$, in anni) di una regione. Le equazioni delle rette sono:

$3x + y - 105 = 0$

$x + 2y - 160 = 0$

Individua con motivazioni quale sia la retta di regressione di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. Poi calcola le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$ e il coefficiente di correlazione lineare $r$.

La crescita di una colonia di batteri in funzione del tempo ($X$, in ore) non segue un modello lineare, ma esponenziale della forma $Y = A \cdot e^{BX}$, dove $Y$ è il numero di batteri (in migliaia). Per applicare tecniche di regressione lineare si effettua il cambio di variabile $Z = \ln Y$.

I dati trasformati $(X, Z)$ forniscono i seguenti risultati marginali e congiunti per 5 osservazioni: $\bar{x} = 4$, $\bar{z} = 2,1$, $\sigma_x^2 = 2,5$, $\sigma_{xz} = 1,2$.

Calcola i valori dei parametri $A$ e $B$ del modello esponenziale originale.

Il seguente grafico di dispersione mette in relazione la concentrazione di un inquinante chimico in un fiume ($X$, in ppm) con il tasso di mortalità di una specie di pesce ($Y$, in %). Osserva la presenza di un valore anomalo chiaramente distinto dal resto della nuvola di punti.

Spiega con motivazioni come influirebbe l'eliminazione di questo valore anomalo sulla covarianza $\sigma_{xy}$, sul coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ e sul coefficiente di correlazione lineare $r$.

Un gruppo di orientamento scolastico di una scuola secondaria ha registrato, in un campione di 30 studenti del primo anno di liceo, il tempo giornaliero di uso ricreativo del cellulare ($X$, in ore) e le ore di sonno notturno ($Y$, in ore). Dopo aver tabulato i dati individuali, si dispongono le medie $\bar{x} = 3,5\text{ h}$, $\bar{y} = 7,0\text{ h}$ e la covarianza $\sigma_{xy} = -1,8\text{ h}^2$. Per coordinarsi con uno studio regionale sulla salute giovanile, occorre esprimere entrambe le variabili in minuti ($U = 60X$, $V = 60Y$). Per trovare la nuova covarianza $\sigma_{uv}$ si propongono due strade:

• Metodo 1: Moltiplicare per 60 ciascuna delle 30 coppie di valori originali $(x_i, y_i)$, costruire una nuova tabella con le coppie $(u_i, v_i)$, trovare le nuove medie $\bar{u}$ e $\bar{v}$ e calcolare $\sigma_{uv} = \frac{\sum u_i v_i}{30} - \bar{u}\bar{v}$.

• Metodo 2: Applicare la proprietà algebrica di conservazione della covarianza rispetto alle trasformazioni lineari $\sigma_{uv} = ac\cdot\sigma_{xy}$.

Confronta i due metodi valutando il tempo di calcolo e il rischio di propagazione degli errori di arrotondamento e indica con motivazioni quale sia preferibile. Infine, applica il metodo scelto per calcolare il valore esatto di $\sigma_{uv}$ e interpreta il suo segno.

Sia data una distribuzione bidimensionale $(X, Y)$ con covarianza $\sigma_{xy} = 15$ e coefficiente di correlazione $r = 0,6$. Se si esegue una trasformazione lineare sulle variabili per adattarle a una nuova scala di misura, in modo che $U = 2X - 3$ e $V = -0,5Y + 1$, calcola la nuova covarianza $\sigma_{uv}$ e il nuovo coefficiente di correlazione $r_{uv}$ tra $U$ e $V$.

Dimostra matematicamente che, se le equazioni delle rette di regressione di $Y$ su $X$ e di $X$ su $Y$ si esprimono nella forma $y = mx + n$ e $x = m'y + n'$ rispettivamente, allora il coefficiente di correlazione lineare soddisfa $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Spiega inoltre da che cosa dipende il segno assunto da $r$.

Osserva i seguenti diagrammi di dispersione che mettono in relazione diverse variabili in tre esperimenti differenti. Assegna in modo motivato a ciascun grafico uno dei seguenti coefficienti di correlazione lineare: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

A partire dai dati climatici dell'ARPA in una stessa zona dell'entroterra durante una giornata autunnale serena, si registrano l'altitudine sul livello del mare ($X$, in centinaia di metri) e la temperatura massima raggiunta ($Y$, in $^\circ\text{C}$) in 5 località:

$A(4; 21)$, $B(6; 19)$, $C(8; 18)$, $D(10; 15)$ e $E(12; 12)$.

1. Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo giustificato il segno che deve avere la covarianza basandoti sul gradiente termico verticale della troposfera e spiega se ci si può aspettare una dipendenza funzionale esatta o puramente statistica.

2. Calcola le coordinate del baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ della distribuzione e la covarianza esatta $\sigma_{xy}$ applicando la formula $\sigma_{xy} = \frac{1}{N}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$.

3. Verifica se il valore numerico ottenuto conferma la tua stima precedente e spiega il significato del segno della covarianza in termini di variazione simultanea delle due variabili.

In uno studio, le variabili $X$ e $Y$ assumono i valori $X \in \{2, 4, 6\}$ e $Y \in \{4, 6, 8\}$. Le distribuzioni marginali sono identiche e uniformi (frequenza assoluta pari a 10 per ogni singolo valore, con dimensione del campione $N=30$). Inoltre, si sa che la distribuzione congiunta è perfettamente simmetrica ($f_{ij} = f_{ji}$) e che la frequenza congiunta per $X=2$ e $Y=4$ è 8, per $X=2$ e $Y=6$ è 2 e per $X=4$ e $Y=6$ è 2.

Calcola le restanti frequenze congiunte della tabella e dimostra che la covarianza di questa distribuzione è $\sigma_{xy} = 1,6$.