Binomio di Newton

Calcola il valore della seguente espressione utilizzando le proprietà dei fattoriali e dei coefficienti binomiali: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica con fattoriali: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Trova il valore del numero naturale $x$ che verifica la seguente equazione con coefficienti binomiali: $\binom{x}{2} = 21$.

Utilizza il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) per ottenere i coefficienti della sesta riga e sviluppa l'espressione $(m + 2n)^6$.

Sviluppa completamente il binomio $(x + 3)^4$ utilizzando la formula del binomio di Newton.

Sviluppa l'espressione $(2a - b)^5$ e indica quanti termini ha lo sviluppo finale.

Sviluppa il binomio con frazioni $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ e semplifica ciascuno dei termini risultanti.

Scrivi direttamente il quarto termine dello sviluppo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, senza calcolare l'intero sviluppo.

Calcola il coefficiente del termine che contiene $x^3$ nello sviluppo del binomio $(x - 4)^5$.

Sofia sta calcolando il termine che occupa la quarta posizione ($T_4$) nello sviluppo del binomio $(x^2 - 2)^6$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Poiché chiedono il quarto termine, utilizzo $k = 4$:

$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».

1. a) Individua e spiega con le dovute motivazioni l'errore concettuale che commette Sofia associando il numero del termine all'indice $k$ della formula generale $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. b) Correggi la risoluzione calcolando passo dopo passo il vero quarto termine dello sviluppo, indicando con chiarezza il suo segno, il suo coefficiente numerico e il suo grado.
3. c) Quale termine dello sviluppo ha calcolato realmente Sofia nel suo procedimento?

Trova il termine indipendente da $x$ (cioè il termine che non contiene la variabile $x$) nello sviluppo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

Determina il termine centrale nello sviluppo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ e semplifica l'espressione risultante.

Trova il quinto termine nello sviluppo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Semplifica il risultato combinando le potenze di $x$.

Sviluppa e semplifica al massimo l'espressione con radicali $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Raggruppa i termini simili e lascia il risultato senza esponenti negativi.

Una compagnia di telecomunicazioni in Italia applica a una tariffa flat in fibra ottica un adeguamento per inflazione del $3\,\%$ annuo ($0,03$) per $4$ anni consecutivi. Il costo al termine di tale periodo risulta moltiplicato per il fattore $(1 + 0,03)^4$.

1. a) Stima mentalmente il valore di tale fattore moltiplicativo utilizzando soltanto i primi due addendi del binomio di Newton, $(1 + 0,03)^4 \approx \binom{4}{0} \cdot 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot 0,03$, e indica quale percentuale di aumento totale rappresenta la tua stima.
2. b) Sviluppa completamente la potenza $(1 + 0,03)^4$ mediante il binomio di Newton e calcola il valore esatto del fattore moltiplicativo con quattro cifre decimali.
3. c) Verifica se la stima del punto a) è stata per eccesso o per difetto. Giustifica perché in ambito economico è spesso sufficiente fermarsi ai primi due termini quando l'incremento annuo è piccolo.

Nello sviluppo del binomio $(x + k)^4$, si sa che il coefficiente del termine in $x^2$ è uguale a $54$. Calcola il valore positivo del parametro $k$.

Determina i valori reali positivi dei parametri $a$ e $b$ nel binomio $(ax + b)^5$ sapendo che il secondo termine del suo sviluppo è $240x^4$ e il terzo termine del suo sviluppo è $720x^3$.

Dimostra che la somma di tutti i coefficienti binomiali di una stessa riga $n$ verifica $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizzando lo sviluppo del binomio di Newton per $(1+1)^n$. Applica questo risultato per determinare quanti gruppi distinti (di qualsiasi dimensione, compreso il gruppo vuoto) si possono formare con i $8$ dipendenti di un ufficio.

Calcola la somma di tutti i coefficienti del polinomio che si ottiene sviluppando $(3x - 2y)^5$. Suggerimento: Pensa a quali valori numerici puoi assegnare alle variabili $x$ e $y$ affinché l'espressione valutata coincida esattamente con la somma dei suoi coefficienti.

In economia, il capitale finale accumulato dopo $5$ anni a un interesse composto annuo $r$ si calcola mediante la formula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilizza il binomio di Newton per sviluppare $(1 + r)^5$. Se il tasso di interesse è $r = 0,03$, calcola un'approssimazione del capitale finale per un capitale iniziale di $1000$ € utilizzando soltanto i primi tre termini dello sviluppo.

Dimostra la proprietà fondamentale dei coefficienti binomiali $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizzando la definizione algebrica con i fattoriali. Successivamente, utilizza le proprietà dei coefficienti binomiali per risolvere il seguente sistema di equazioni nelle incognite naturali $x$ e $y$:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$