Retta di regressione di y su x

Noti i parametri statistici di una distribuzione bidimensionale: media di $X$ uguale a $4$, media di $Y$ uguale a $6$, varianza di $X$ uguale a $1,5$ e covarianza uguale a $3$. Determina l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Una distribuzione bidimensionale ha per matrice dei dati le seguenti sommatorie: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, e il numero totale di osservazioni è $N = 10$. Calcola la covarianza e la varianza di $X$, e scrivi l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Un'azienda di marketing digitale ha raccolto dati sull'investimento in campagne sui social network ($X$, in migliaia di euro) e sui ricavi generati dalle vendite ($Y$, in decine di migliaia di euro) durante $5$ mesi consecutivi:

• $X$: $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$: $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Calcola la retta di regressione dei ricavi in funzione dell'investimento e stima i ricavi attesi se si investono $5000$ euro.

In uno studio sulla relazione tra la quantità di fertilizzante applicato ($X$, in kg/ha) e la produzione ottenuta ($Y$, in tonnellate/ha), è stata calcolata la retta di regressione di $Y$ su $X$, risultata $y = 0,4x + 2,1$. Stima la produzione che si otterrà se si applicano $15$ kg/ha di fertilizzante.

In una distribuzione bidimensionale si sa che le deviazioni standard sono $\sigma_x = 2$ e $\sigma_y = 5$, e il coefficiente di correlazione lineare è $r = -0,8$. Calcola l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ sapendo che il baricentro della distribuzione è il punto $(10, 20)$.

In un centro meteorologico si mette in relazione la pressione atmosferica ($X$, in hPa) con la probabilità di precipitazione ($Y$, in $\%$). Sapendo che il baricentro della distribuzione è il punto $(1013, 40)$, la deviazione standard della pressione è $5$ hPa, quella della probabilità è $20\%$, e il coefficiente di correlazione lineare è $-0,85$, trova l'equazione della retta di regressione che permette di stimare la probabilità di pioggia conoscendo la pressione atmosferica.

Le rette di regressione di una distribuzione bidimensionale sono date dalle equazioni $y = 0,5x + 4$ e $x = 1,6y - 2$. Determina le coordinate del baricentro della distribuzione e il coefficiente di correlazione lineare $r$, indicando con una motivazione il suo segno.

In un'analisi macroeconomica si mette in relazione il tasso di inflazione ($X$, in $\%$ ) con il tasso di disoccupazione ($Y$, in $\%$). La retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = -0,6x + 8$. Se la varianza marginale dell'inflazione è $\sigma_x^2 = 4$ e la varianza marginale della disoccupazione è $\sigma_y^2 = 2,25$, determina il coefficiente di correlazione lineare $r$ e la percentuale della variabilità della disoccupazione spiegata dal modello di regressione lineare.

Un laboratorio universitario analizza la relazione tra due variabili fisiche continue, $X$ e $Y$, e ottiene le equazioni generali delle sue due rette di regressione lineare ai minimi quadrati. A causa di un errore di etichettatura nel software, non è stato salvato quale retta corrisponda a ciascuna regressione:

• Retta 1 ($r_1$): $2x - 5y + 11 = 0$

• Retta 2 ($r_2$): $8x - 5y - 7 = 0$

1. a) Deduci in modo argomentato quale delle due è la retta di regressione di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. A tal fine, analizza le due possibili assegnazioni e dimostra analiticamente che una delle due è matematicamente impossibile, basandoti sulla proprietà del prodotto dei loro coefficienti angolari $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$ e sull'intervallo ammissibile del coefficiente di correlazione lineare.
2. b) Trova le coordinate esatte del baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ della distribuzione bidimensionale e calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.
3. c) Sapendo inoltre che la deviazione standard di $X$ è $\sigma_x = 2,5$, ricostruisci analiticamente il valore della covarianza $\sigma_{xy}$ e della varianza $\sigma_y^2$.

Dimostra analiticamente che se le variabili $X$ e $Y$ hanno una correlazione lineare perfetta ($r = 1$ o $r = -1$), allora la retta di regressione di $Y$ su $X$ coincide esattamente con la retta di regressione di $X$ su $Y$. Spiega brevemente quale implicazione geometrica ha ciò sull'angolo formato dalle due rette nel piano.

In una ricerca farmaceutica, si modellizza la concentrazione di un principio attivo nel sangue ($Y$, in mg/L) in funzione della dose somministrata ($X$, in mg). Se effettuiamo un cambio di variabile standardizzando entrambe le variabili, cioè definiamo $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ e $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, dimostra algebricamente che la retta di regressione di $Z_y$ su $Z_x$ passa per l'origine degli assi e che il suo coefficiente angolare è esattamente il coefficiente di correlazione lineare $r$.

Una sede territoriale del servizio meteorologico studia la relazione tra l'altitudine ($X$, in centinaia di metri) e la temperatura media annua ($Y$, in $^\circ\text{C}$) in cinque osservatori dell'Appennino:

• Osservatorio 1: $(4; 14,3)$

• Osservatorio 2: $(6; 13,3)$

• Osservatorio 3: $(8; 12,0)$

• Osservatorio 4: $(10; 10,9)$

• Osservatorio 5: $(12; 9,5)$

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo motivato il segno che devono avere la covarianza e il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$. Stima anche approssimativamente di quanti gradi scende la temperatura per ogni $100\text{ m}$ di salita.
2. b) Verifica la tua stima calcolando le medie $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la varianza $\sigma_x^2$ e la covarianza $\sigma_{xy}$, e determina l'equazione esatta della retta di regressione di $Y$ su $X$.
3. c) Usa la retta per prevedere la temperatura attesa a $900\text{ m}$ ($x = 9$) e a $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Valuta se entrambe le previsioni sono ragionevoli distinguendo tra interpolazione ed estrapolazione.

In un esperimento di termodinamica si misura la temperatura di un liquido ($Y$, in °C) in funzione del tempo trascorso ($X$, in minuti). La retta di regressione ottenuta è $y = -1,5x + 85$. Sapendo che il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,95$ e che l'esperimento è durato in totale $30$ minuti, è affidabile stimare la temperatura dopo $45$ minuti usando questa retta? Giustifica la risposta basandoti sui concetti di interpolazione ed estrapolazione.

In uno studio di biomeccanica si analizza la relazione tra la lunghezza del femore ($X$, in cm) e l'altezza di un individuo ($Y$, in cm). Si dispone dei seguenti riepiloghi statistici per un campione di $50$ persone:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Trova la retta di regressione di $Y$ su $X$ e stima l'altezza di una persona il cui femore misura $48$ cm. Giustifica brevemente l'affidabilità di questa stima.