Regioni del piano e disequazioni in due incognite

Il contorno e il punto di prova

Una disequazione in due incognite, come $y \ge x^2 - 2x$, ha come soluzioni coppie $(x; y)$, cioè punti del piano. Quasi sempre sono infiniti e riempiono una regione.

Il procedimento è sempre lo stesso:

1. Sostituisci il segno di disuguaglianza con $=$ e disegna la curva di contorno.

2. Il contorno divide il piano in due (o più) parti. Scegli un punto di prova che non stia sul contorno e sostituisci le sue coordinate nella disequazione.

3. Se la disuguaglianza è vera, la regione che contiene il punto è quella cercata. Se è falsa, è l'altra.

4. Se il segno è $\le$ o $\ge$, il contorno appartiene alla regione: linea piena. Se è $<$ o $>$, il contorno non appartiene alla regione: linea tratteggiata.

La figura mostra $y \ge x^2$. Il punto di prova $P(0; 1)$ dà $1 \ge 0$, vero, e infatti sta sopra la parabola. Il punto $O(0; 0)$ è sul contorno, quindi non va usato come punto di prova.

Circonferenza, ellisse e iperbole: interno ed esterno

Con le coniche la regola non cambia: il contorno è la conica, e il punto di prova più comodo è spesso l'origine (se non sta sulla conica).

Per la circonferenza di centro $O$ e raggio $r$ si ha:

Il motivo: $x^2 + y^2$ è il quadrato della distanza del punto $(x; y)$ dall'origine. Dire $x^2 + y^2 \le 9$ significa «distanza dall'origine al più $3$». È proprio il giardino bagnato dall'irrigatore.

Nella figura, $P(1; 1)$ dà $1 + 1 = 2 \le 9$: è dentro. $Q(3; 2)$ dà $9 + 4 = 13 > 9$: è fuori.

Per l'ellisse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ la parte interna è $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \le 1$ e l'esterna è $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1$. L'origine dà $0 \le 1$: sta sempre dentro.

Per l'iperbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ l'origine dà $0 \ge 1$, falso. Quindi $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1$ è la regione che non contiene l'origine: le due parti interne ai rami, quelle che racchiudono i fuochi, bordo compreso. La regione $\le 1$ è la parte di piano tra i due rami, che contiene l'origine.

Sistemi di disequazioni: intersezione di regioni

Un sistema di disequazioni in $x$ e $y$ chiede che tutte le condizioni valgano insieme. Quindi la regione cercata è l'intersezione delle regioni delle singole disequazioni. Si disegnano tutti i contorni sullo stesso piano e si tiene la zona che soddisfa tutte le condizioni.

I vertici della regione sono i punti dove si incontrano due contorni. Si trovano risolvendo il sistema formato dalle due equazioni dei contorni.

Quando il sistema ha condizioni di tipo «corona», come $4 \le x^2 + y^2 \le 25$, la regione è la corona circolare tra le due circonferenze concentriche. La sua area si calcola per differenza: $\pi \cdot 5^2 - \pi \cdot 2^2 = 21\pi$.

Regioni limitate e problemi di contesto

Una regione è limitata se sta dentro un cerchio abbastanza grande. Altrimenti è illimitata. Per riconoscerlo:

• se una delle condizioni è «interno di una circonferenza o di un'ellisse», la regione è limitata;

• una singola condizione come «sopra una parabola» o «tra i rami di un'iperbole» descrive una regione che si estende all'infinito; con più condizioni bisogna però studiare l'intersezione, che può essere limitata (come la «lente» vista sopra).

Un parametro: quando il sistema ha soluzioni?

Se compare un parametro $k$, il contorno si sposta con $k$. La domanda «per quali $k$ il sistema ha soluzioni?» diventa: per quali $k$ le due regioni si incontrano? Conviene ragionare con la geometria, non con il calcolo.

Torniamo all'irrigatore: la zona bagnata è il cerchio $x^2 + y^2 \le 9$, cioè tutti i punti che distano al più $3$ m dall'origine. Si disegna con la circonferenza a tratto pieno e con l'interno colorato.

In sintesi

• Una disequazione in $x$ e $y$ descrive una regione del piano. Si disegna il contorno ottenuto con il segno $=$.

• Linea piena per $\le, \ge$ e linea tratteggiata per $<, >$.

• Si usa un punto di prova non sul contorno (spesso l'origine) per decidere da che parte sta la regione.

• Cerchio: $x^2 + y^2 \le r^2$ (interno). Ellisse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$ (interno). Iperbole: $\ge 1$ è la parte dentro i rami, senza l'origine.

• In un sistema la regione è l'intersezione delle regioni. I vertici si trovano risolvendo il sistema delle equazioni dei contorni.

• Una regione è limitata se sta dentro un cerchio. Con un parametro si ragiona su come si sposta il contorno.