Disequazioni lineari in due incognite e sistemi

Dato il sistema di disequazioni lineari $x + y < 5$ e $2x - y \ge 0$, determina quali dei seguenti punti sono soluzione del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ e $D(4, 0)$.

Rappresenta graficamente la disequazione $2x - 3y \le 6$. Poi indica due punti le cui coordinate appartengono alla regione delle soluzioni e due punti che non vi appartengono.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

A partire dalla regione evidenziata nella figura, determina la disequazione lineare in due incognite che la definisce. Tieni conto che la retta di confine passa per i punti $(0, 2)$ e $(3, 0)$ e che la regione comprende l'origine degli assi.

Per risolvere graficamente la disequazione $x - 2y > 0$, Matteo esegue il seguente procedimento sul suo quaderno:

1.º Disegna la retta di frontiera $x - 2y = 0$ con tratto continuo.

2.º Come punto di prova per stabilire quale semipiano tratteggiare, sceglie l'origine del sistema di coordinate $(0,0)$.

3.º Sostituisce nella disequazione: $0 - 2 \cdot 0 > 0 \implies 0 > 0$, e ragiona: «Poiché la disuguaglianza è falsa, l'origine non è soluzione; quindi la soluzione è il semipiano in cui non si trova l'origine, e includo la retta di frontiera perché è quella che separa le due regioni».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Matteo (uno riguardo alla scelta del punto di prova e uno riguardo al tipo di tratto della retta di frontiera).
2. b) Correggi l'esercizio: indica quale tipo di tratto corrisponde alla frontiera, scegli un punto di prova adeguato che non appartenga alla retta (giustificando la tua scelta) e determina con chiarezza quale semipiano è la soluzione.

Rappresenta la regione del piano che soddisfa simultaneamente le seguenti restrizioni: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.

Rappresenta graficamente il sistema formato dalle disequazioni $x + 2y \ge 4$ e $x - y \le 1$, evidenziando chiaramente la regione ammissibile risultante.

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Trova algebricamente le coordinate dei vertici della regione ammissibile definita dal seguente sistema di disequazioni: $x \ge 0$, $y \ge 0$ e $x + y \le 4$.

Rappresenta graficamente il sistema di disequazioni $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcola le coordinate esatte dei vertici della regione risultante.

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Un'azienda di noleggio veicoli dispone di auto e furgoni. La manutenzione giornaliera di un'auto costa $10$ euro e quella di un furgone $20$ euro. Il budget giornaliero per la manutenzione non supera i $300$ euro. Il parcheggio ha una capacità massima di $20$ veicoli. Determina la regione ammissibile e trova il numero massimo di furgoni che si possono mantenere se si hanno esattamente $5$ auto.

La figura mostra una regione poligonale nel piano cartesiano che rappresenta le combinazioni di produzione realizzabili di due componenti elettronici. Determina il sistema di disequazioni che definisce tale regione, sapendo che i suoi vertici sono $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ e $D(2, 3)$.

In un piano urbanistico è stata delimitata un'area verde triangolare i cui vertici esatti sono $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(2, 5)$.

1. a) Ottieni l'equazione generale o implicita ($ax + by = c$) di ciascuna delle tre rette che contengono i lati del triangolo (lati $AB$, $AC$ e $BC$).
2. b) Scrivi un sistema di tre disequazioni lineari in due incognite la cui regione ammissibile coincida esattamente con l'interno e i lati di tale triangolo.
3. c) Giustifica come hai deciso il verso di ciascuna disuguaglianza ($\le$ o $\ge$) verificando che le coordinate di un punto interno evidente (come il punto $(2, 2)$) soddisfano contemporaneamente le tre disequazioni impostate.

L'immagine mostra una regione ammissibile a forma di quadrilatero, che modellizza i vincoli di un progetto di ingegneria del software (ore di programmazione sull'asse $X$ contro ore di test sull'asse $Y$). I vertici sono $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ e $S(3, 0)$. Determina il sistema di disequazioni che definisce esattamente questa regione.

Una pasticceria prepara due tipi di torte, T1 e T2. La torta T1 richiede $2$ ore di preparazione e $1$ ora di cottura, mentre la torta T2 richiede $1$ ora di preparazione e $2$ ore di cottura. Si dispone di un massimo di $10$ ore di preparazione e $8$ ore di cottura al giorno. Imposta il sistema di disequazioni che modellizza questa situazione (considerando che le quantità non possono essere negative) e rappresenta graficamente la regione delle possibili produzioni giornaliere.

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Un agricoltore dispone di $50$ ettari per piantare grano e orzo. Il seme di grano costa $20$ euro per ettaro e quello di orzo $30$ euro per ettaro. Il budget massimo per le sementi è di $1200$ euro. Inoltre, per normative ambientali, la superficie di orzo non può superare il doppio della superficie di grano. Scrivi il sistema di disequazioni associato e trova i vertici della regione ammissibile.

Per trasportare $60$ tonnellate di merce, un'azienda di logistica dispone di camion grandi con capacità di $8$ tonnellate e camion piccoli con capacità di $5$ tonnellate. Per limiti di personale, non si possono inviare più di $10$ veicoli in totale. Imposta il sistema di disequazioni che determina il numero di camion di ciascun tipo utilizzabili e trova analiticamente i vertici della regione soluzione.

Una raffineria produce due tipi di leghe, A e B. Per la lega A servono $3$ kg di rame, $1$ kg di zinco e $2$ kg di stagno per unità. Per la lega B, $1$ kg di rame, $2$ kg di zinco e $3$ kg di stagno. In magazzino si dispone di un massimo di $300$ kg di rame, $200$ kg di zinco e $240$ kg di stagno. Imposta il sistema di disequazioni che descrive le possibili produzioni delle due leghe, rappresenta la regione ammissibile e calcola le coordinate di tutti i suoi vertici.

Considera la regione del piano definita dalle disequazioni $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ e $x - y \ge -2$. Dimostra algebricamente che si tratta di una regione limitata e determina le coordinate dei vertici di questa regione.

È dato il sistema di disequazioni $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discuti, in funzione del parametro $k$, il numero di vertici della regione ammissibile. Per quali valori di $k$ la regione ammissibile si riduce all'insieme vuoto?

Si vuole determinare se esiste qualche soluzione per il seguente sistema di disequazioni:

Per risolverlo, tre studenti propongono strade diverse:

• Strada A (geometrica): Disegnare con precisione le quattro rette di frontiera, colorare ogni semipiano con punti di prova e cercare la regione comune.

• Strada B (algebrica diretta): Moltiplicare la prima disequazione per $2$ e sommarla membro a membro con la seconda per analizzare la disuguaglianza risultante.

• Strada C (calcolo dei vertici): Risolvere i sistemi di equazioni lineari $2 \times 2$ uguagliando le rette due a due per trovare i vertici della regione ammissibile.

1. a) Applica la Strada B e spiega quale conclusione immediata e indiscutibile permette di trarre sulla regione ammissibile.
2. b) Confronta criticamente le tre strade: argomenta perché la Strada B è la più efficace e spiega la perdita di tempo o la difficoltà inutile che avrebbero coloro che applicano la Strada A o la Strada C (analizza la posizione reciproca delle rette di frontiera).
3. c) Giustifica in quali tipi di problemi di sistemi di disequazioni sarebbe invece indispensabile applicare la Strada A o la Strada C al posto della Strada B.