Disequazioni razionali
Un abbonamento ai mezzi pubblici costa 40 € al mese e ogni corsa in più costa 1,50 €: il costo medio per corsa dipende da $x$ ed è una frazione con $x$ al denominatore. Quando vogliamo che resti sotto una certa soglia, otteniamo una disequazione in cui l'incognita sta in un denominatore. La tentazione è «togliere» la frazione moltiplicando, ma non sappiamo se ciò che moltiplichiamo è positivo o negativo. Vediamo come si fa correttamente, e alla fine torneremo su una situazione di questo tipo.
Perché non si moltiplica per il denominatore
Risolvi la seguente disequazione razionale esprimendo la soluzione sotto forma di intervallo: $\frac{x-4}{x+3} > 0$
Risolvi la seguente disequazione razionale esprimendo la soluzione sotto forma di intervallo:
$\frac{x-4}{x+3} > 0$
Marco cerca di risolvere alla lavagna la disequazione razionale $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ e segue questo procedimento: «Moltiplico entrambi i membri per $(x + 2)$ per…
Marco cerca di risolvere alla lavagna la disequazione razionale $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ e segue questo procedimento:
«Moltiplico entrambi i membri per $(x + 2)$ per eliminare il denominatore: $(x - 3) \le 0 \cdot (x + 2) \implies x - 3 \le 0 \implies x \le 3$. Quindi l'insieme delle soluzioni è $(-\infty, 3]$».
- a) Individua e spiega in modo motivato l'errore concettuale che commette Marco moltiplicando per $(x + 2)$. Perché questa operazione non è valida in una disequazione se non si conosce il segno dell'espressione?
- b) Correggi l'esercizio risolvendo la disequazione passo dopo passo mediante lo studio dei segni negli intervalli corrispondenti e scrivi la soluzione corretta sotto forma di intervallo, giustificando perché un estremo è aperto e l'altro chiuso.
Data la disequazione razionale $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$: a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo formale, stima il comportamento della frazione: quale segno avrà se…
Data la disequazione razionale $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$:
- a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo formale, stima il comportamento della frazione: quale segno avrà se calcoliamo valori di $x$ positivi molto grandi (ad esempio $x = 100$)? E se prendiamo valori negativi con valore assoluto molto grande (ad esempio $x = -100$)? Da questa osservazione, congettura se la soluzione sarà formata dall'unione di due semirette illimitate o da un unico intervallo limitato centrale.
- b) Risolvi la disequazione trovando le radici del numeratore e del denominatore e costruendo la tabella dei segni.
- c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima iniziale e spiega perché entrambi gli estremi devono essere aperti nonostante il numeratore si annulli in $x = -5$.
Zeri del denominatore e segni uguali a zero
Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza: $\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$
Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza:
$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$
Determina i valori di $x$ che verificano: $\frac{4}{x-6} \le 0$
Determina i valori di $x$ che verificano:
$\frac{4}{x-6} \le 0$
Risolvi la disequazione razionale, prestando particolare attenzione alle radici multiple del numeratore: $\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Risolvi la disequazione razionale, prestando particolare attenzione alle radici multiple del numeratore:
$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Fattori di grado superiore e radici multiple
Se numeratore e denominatore hanno grado maggiore di 1, si scompongono in fattori (raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio caratteristico, Ruffini) e si studia il segno di ogni fattore. Poi si compone lo schema dei segni: ogni riga è un fattore, l'ultima riga è il prodotto dei segni.
Dominio di una radice di una frazione
Se una frazione si trova sotto una radice quadrata, il radicando deve essere maggiore o uguale a $0$. Le C.E. sono quindi due: denominatore diverso da $0$ e frazione $\ge 0$. Il dominio si trova risolvendo la disequazione razionale $\frac{N(x)}{D(x)}\ge0$.
Risolvi la seguente disequazione razionale ed esprimi la soluzione mediante intervalli: $\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Risolvi la seguente disequazione razionale ed esprimi la soluzione mediante intervalli:
$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Risolvi la seguente disequazione razionale in cui il numeratore è un polinomio di terzo grado: $\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Risolvi la seguente disequazione razionale in cui il numeratore è un polinomio di terzo grado:
$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Determina il dominio della funzione di variabile reale $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina il dominio della funzione di variabile reale $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Risolvi la disequazione razionale, scomponendo prima in fattori i polinomi del numeratore e del denominatore: $\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Risolvi la disequazione razionale, scomponendo prima in fattori i polinomi del numeratore e del denominatore:
$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Quando c'è un termine nell'altro membro
Se la disequazione è $\frac{N(x)}{D(x)}\gtrless k$ con $k\ne 0$, oppure ha frazioni a entrambi i membri, si porta tutto al primo membro, si riduce a un'unica frazione e si confronta con $0$. Mai moltiplicare in croce.
Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione: $\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:
$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Determina l'insieme dei valori che soddisfano la seguente disuguaglianza tra frazioni algebriche: $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Determina l'insieme dei valori che soddisfano la seguente disuguaglianza tra frazioni algebriche:
$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Trova l'insieme delle soluzioni della seguente disequazione razionale: $\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Trova l'insieme delle soluzioni della seguente disequazione razionale:
$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Problemi e sistemi
Le funzioni razionali descrivono costo medio, tempi in funzione della velocità, concentrazioni. Si traduce il testo in una disequazione razionale, si tiene conto delle limitazioni del contesto (di solito $x>0$) e si risolve col metodo dello schema dei segni.
Quando due disequazioni razionali devono valere insieme, si risolvono separatamente e si interseca l'insieme delle soluzioni: si disegnano le soluzioni su rette parallele e si prende la parte comune. Se invece una disequazione contiene un parametro, si studia da quali valori dipende il segno dei fattori (per esempio con il discriminante del numeratore).
Torniamo all'inizio: nel problema dell'abbonamento, il costo medio $\frac{40+1{,}5x}{x}$ per $x$ corse si confronta con una soglia, per esempio 3 €. Si ottiene $\frac{40-1{,}5x}{x}\le0$, quindi servono $x\ge 26{,}\overline{6}$, cioè almeno 27 corse.
Il costo medio giornaliero (in euro) di produzione di $x$ componenti elettronici in una fabbrica è dato dall'espressione $C(x) = \frac{800+15x}{x}$. Determina per quali…
Il costo medio giornaliero (in euro) di produzione di $x$ componenti elettronici in una fabbrica è dato dall'espressione $C(x) = \frac{800+15x}{x}$. Determina per quali livelli di produzione il costo medio sarà strettamente inferiore a $25$ euro per componente.
La concentrazione di un farmaco nel flusso sanguigno, misurata in mg/L, $t$ ore dopo la somministrazione è data dalla funzione $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. Per quale…
La concentrazione di un farmaco nel flusso sanguigno, misurata in mg/L, $t$ ore dopo la somministrazione è data dalla funzione $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. Per quale intervallo di tempo $t \ge 0$ la concentrazione del farmaco è maggiore o uguale a $1$ mg/L?
Risolvi il seguente sistema di disequazioni razionali ed esprimi il risultato come unione di intervalli:…
Risolvi il seguente sistema di disequazioni razionali ed esprimi il risultato come unione di intervalli:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$