Progressioni geometriche
Una colonia di batteri si triplica, una palla elastica rimbalza ogni volta più in basso, un capitale depositato in banca cresce con l'interesse composto. In tutti questi casi ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per uno stesso numero. In questa pagina studiamo questo meccanismo e ci chiediamo: Achille raggiungerà davvero la tartaruga, se deve percorrere infiniti tratti sempre più piccoli?
Termine generale e ragione
Perché l'esponente è $n-1$? Per arrivare da $a_1$ ad $a_n$ servono $n-1$ "salti", e a ogni salto si moltiplica per $q$. In questa pagina indichiamo la ragione con $q$; nei testi degli esercizi la trovi indicata anche con $r$: è lo stesso numero.
Per riconoscere una progressione geometrica si calcola il rapporto tra termini consecutivi $\frac{a_{n+1}}{a_n}$: se è sempre lo stesso numero, è una progressione geometrica e quel numero è la ragione. Ad esempio $\frac12, \frac16, \frac1{18}, \dots$ ha rapporto $\frac16 : \frac12 = \frac13$ e $\frac1{18} : \frac16 = \frac13$.
Scrivi i primi cinque termini e determina l'espressione del termine generale di una progressione geometrica sapendo che il suo primo termine è $a_1 = 3$ e la sua ragione…
Scrivi i primi cinque termini e determina l'espressione del termine generale di una progressione geometrica sapendo che il suo primo termine è $a_1 = 3$ e la sua ragione è $r = 2$.
Data la successione definita dal termine generale $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcola il valore dei termini $a_3$ e $a_6$.
Data la successione definita dal termine generale $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcola il valore dei termini $a_3$ e $a_6$.
In una progressione geometrica di termini positivi, si sa che $a_2 = 6$ e $a_4 = 54$. Calcola il valore della ragione $r$ e del primo termine $a_1$.
In una progressione geometrica di termini positivi, si sa che $a_2 = 6$ e $a_4 = 54$. Calcola il valore della ragione $r$ e del primo termine $a_1$.
Determina il valore del numero reale $x$ affinché i termini $x-1$, $2x$ e $5x+4$ formino, in quest'ordine, una progressione geometrica.
Determina il valore del numero reale $x$ affinché i termini $x-1$, $2x$ e $5x+4$ formino, in quest'ordine, una progressione geometrica.
Somma dei primi $n$ termini e prodotto
Il prodotto dei primi $n$ termini si ottiene accoppiando i termini equidistanti dagli estremi: ciascun prodotto $a_k\cdot a_{n+1-k}$ vale $a_1\cdot a_n$. Se $n$ è pari ci sono $\frac{n}{2}$ coppie, quindi $P_n=(a_1\cdot a_n)^{n/2}=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$. Se $n$ è dispari restano $\frac{n-1}{2}$ coppie e un termine centrale $a_c$ con $a_c^2=a_1\cdot a_n$, cioè $a_c=\sqrt{a_1 a_n}$ (termine positivo): il prodotto è $(a_1 a_n)^{(n-1)/2}\cdot\sqrt{a_1 a_n}=\sqrt{(a_1 a_n)^n}$. Con termini positivi la formula vale quindi per ogni $n$; se ci sono termini negativi la radice dà solo il valore assoluto di $P_n$ e il segno va stabilito a parte. In alternativa, poiché $a_k=a_1q^{k-1}$, si ha $P_n=a_1^n\,q^{0+1+\dots+(n-1)}=a_1^n\,q^{n(n-1)/2}$, valida sempre.
Calcola la somma dei primi $8$ termini di una progressione geometrica in cui il primo termine è $a_1 = 4$ e la ragione è $r = 3$.
Calcola la somma dei primi $8$ termini di una progressione geometrica in cui il primo termine è $a_1 = 4$ e la ragione è $r = 3$.
Calcola il prodotto dei primi sei termini di una progressione geometrica che ha come primo termine $a_1 = 2$ e come ragione $r = 2$.
Calcola il prodotto dei primi sei termini di una progressione geometrica che ha come primo termine $a_1 = 2$ e come ragione $r = 2$.
Un macchinario industriale costa $24\,000$ euro e si svaluta del $12\%$ ogni anno rispetto al valore dell'anno precedente. Scrivi il termine generale della successione…
Un macchinario industriale costa $24\,000$ euro e si svaluta del $12\%$ ogni anno rispetto al valore dell'anno precedente. Scrivi il termine generale della successione che modella il suo valore e calcola quanto varrà dopo $6$ anni.
Si depositano $5000$ euro in un istituto finanziario a un interesse composto annuo del $3,5\%$. Scrivi l'espressione generale del capitale accumulato alla fine dell'anno…
Si depositano $5000$ euro in un istituto finanziario a un interesse composto annuo del $3,5\%$. Scrivi l'espressione generale del capitale accumulato alla fine dell'anno $n$. Quanto denaro ci sarà sul conto dopo $8$ anni se non si preleva nulla?
Somma degli infiniti termini ($|q|<1$)
Se $-1 Determina la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica il cui primo termine è $a_1 = 10$ e la cui ragione è $r = \frac{1}{5}$. Esprimi il numero decimale periodico semplice $0,4444\dots$ come somma degli infiniti termini di una progressione geometrica e ricava la sua frazione generatrice. La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica è $18$ e il suo primo termine è $6$. Determina la ragione della progressione e il valore del quarto termine. Si ha un quadrato di lato $10$ cm. Unendo i punti medi dei suoi lati si forma un secondo quadrato. Unendo i punti medi dei lati di questo secondo quadrato si forma un terzo quadrato, e così via. Calcola la somma delle aree degli infiniti quadrati formati con questo procedimento.Determina la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica il cui primo termine è $a_1 = 10$ e la cui ragione è $r = \frac{1}{5}$.
Esprimi il numero decimale periodico semplice $0,4444\dots$ come somma degli infiniti termini di una progressione geometrica e ricava la sua frazione generatrice.
La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica è $18$ e il suo primo termine è $6$. Determina la ragione della progressione e il valore del quarto…
Si ha un quadrato di lato $10$ cm. Unendo i punti medi dei suoi lati si forma un secondo quadrato. Unendo i punti medi dei lati di questo secondo quadrato si forma un…
Problemi con le progressioni geometriche
Svalutazioni, popolazioni di batteri, altezze di rimbalzo, figure frattali: individua $a_1$ e $q$ e decidi se la domanda riguarda un termine, una somma finita o una somma infinita. Ricorda: un aumento del $p\%$ moltiplica per $1+\frac{p}{100}$, una diminuzione del $p\%$ per $1-\frac{p}{100}$.
In una coltura di laboratorio, una popolazione di batteri si triplica ogni $4$ ore. Se inizialmente vengono introdotti $100$ batteri nella piastra, quanti batteri ci…
In una coltura di laboratorio, una popolazione di batteri si triplica ogni $4$ ore. Se inizialmente vengono introdotti $100$ batteri nella piastra, quanti batteri ci saranno dopo $24$ ore? Esprimi il risultato utilizzando le potenze.
Si lascia cadere una palla elastica da un'altezza iniziale di $5$ metri. A ogni rimbalzo, la palla raggiunge il $80\%$ dell'altezza del rimbalzo precedente. Imposta la…
Si lascia cadere una palla elastica da un'altezza iniziale di $5$ metri. A ogni rimbalzo, la palla raggiunge il $80\%$ dell'altezza del rimbalzo precedente. Imposta la successione delle altezze raggiunte e calcola la distanza totale percorsa dalla palla (sommando le discese e le salite) fino a quando si ferma teoricamente.
Achille e la tartaruga disputano una gara. Achille corre a $10$ m/s e la tartaruga a $1$ m/s. La tartaruga parte con un vantaggio di $100$ metri. Quando Achille percorre…
Achille e la tartaruga disputano una gara. Achille corre a $10$ m/s e la tartaruga a $1$ m/s. La tartaruga parte con un vantaggio di $100$ metri. Quando Achille percorre quei $100$ metri, la tartaruga è avanzata di $10$ metri. Quando Achille percorre quei $10$ metri, la tartaruga avanza di $1$ metro, e così via. Esprimi la distanza totale percorsa da Achille come somma degli infiniti termini di una progressione geometrica e dimostra che il risultato è finito.
Torniamo all'inizio: nel paradosso di Achille e la tartaruga gli infiniti tratti formano una progressione geometrica di ragione $q<1$, quindi la loro somma $S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$ è finita: Achille raggiunge la tartaruga dopo uno spazio e un tempo finiti.