Due droni di sorveglianza volano lungo traiettorie rettilinee che dipendono da un parametro $v$, legato alla velocità del vento. A seconda del valore di $v$, le traiettorie si incrociano in un solo punto, sono parallele oppure coincidono. Discutere un sistema significa rispondere a questa domanda per tutti i valori possibili del parametro, senza risolvere il sistema valore per valore.
Che cosa significa «discutere»
Ricorda il significato geometrico: ogni equazione lineare è una retta nel piano cartesiano.
Rette incidenti (una sola intersezione): sistema determinato, una sola soluzione.
Rette parallele distinte: sistema impossibile, nessuna soluzione.
Rette coincidenti: sistema indeterminato, infinite soluzioni.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Discuti, in funzione del parametro $m$, il seguente sistema di equazioni lineari: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discuti, in funzione del parametro $m$, il seguente sistema di equazioni lineari:
Se i coefficienti possono annullarsi, conviene usare la forma equivalente senza denominatori: il sistema è determinato se e solo se $a_1b_2-a_2b_1\ne0$ (il determinante dei coefficienti non è nullo).
Scrivere le infinite soluzioni
Quando il sistema è indeterminato le due equazioni rappresentano la stessa retta: basta risolvere una sola equazione rispetto a una incognita. Per descrivere tutte le soluzioni si pone l'altra incognita uguale a un parametro $\lambda\in\mathbb{R}$ (si dice anche che le soluzioni sono $\infty^1$).
Esercitati★☆☆Da iniziare
Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema sia incompatibile: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema sia incompatibile:
Discuti il seguente sistema e, nei casi in cui sia compatibile indeterminato, esprimi le infinite soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$: $mx + (m+1)y = m$…
Discuti il seguente sistema e, nei casi in cui sia compatibile indeterminato, esprimi le infinite soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:
Dato il seguente sistema di equazioni lineari: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ esiste qualche valore del parametro $m$ per il quale il sistema sia incompatibile? Giustifica…
Dato il seguente sistema di equazioni lineari:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
esiste qualche valore del parametro $m$ per il quale il sistema sia incompatibile? Giustifica matematicamente la tua risposta.
Il parametro non è sempre una lettera «astratta»: può rappresentare un'imposta, una concentrazione o il coefficiente angolare di una traiettoria. La discussione è la stessa, ma il risultato va interpretato nella situazione concreta.
Esercitati★★☆Da iniziare
Due droni di sorveglianza seguono traiettorie rettilinee descritte dal seguente sistema, dove $v$ è un parametro legato alla velocità del vento: $vx + 2y = 4$…
Due droni di sorveglianza seguono traiettorie rettilinee descritte dal seguente sistema, dove $v$ è un parametro legato alla velocità del vento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discuti per quali valori di $v$ le traiettorie dei droni si incrociano in un solo punto, sono parallele o coincidono esattamente.
In un'indagine di mercato, le curve di offerta e domanda di un prodotto tecnologico sono date da un sistema lineare dipendente da un'imposta $t$: $2x - ty = 3$…
In un'indagine di mercato, le curve di offerta e domanda di un prodotto tecnologico sono date da un sistema lineare dipendente da un'imposta $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discuti la compatibilità del sistema a seconda dei valori di $t$. Può accadere che non esista un punto di equilibrio (cioè che il sistema sia incompatibile) se $t$ è un numero reale?
Torniamo all'inizio: per classificare le traiettorie dei droni al variare di $v$, confronta i rapporti dei coefficienti delle due rette: se i rapporti delle incognite sono diversi, le traiettorie si incrociano in un punto (determinato); se coincidono ma sono diversi dal rapporto dei termini noti, sono parallele (impossibile); se i tre rapporti sono uguali, le traiettorie coincidono (indeterminato). Nel nostro caso $\dfrac{v}{2}=\dfrac{2}{v}$ dà $v^2=4$, cioè $v=\pm2$: per $v\ne\pm2$ le traiettorie si incrociano in un solo punto; per $v=2$ entrambe le equazioni diventano $2x+2y=4$ e le traiettorie coincidono; per $v=-2$ si ottengono $-2x+2y=4$ e $2x-2y=0$, traiettorie parallele distinte.
In sintesi
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