Discussione di sistemi con un parametro

Discuti il seguente sistema di equazioni in funzione del parametro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Discuti il seguente sistema in funzione del parametro $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

In una fabbrica di componenti elettronici, il costo di produzione di due tipi di microchip è dato da un sistema di equazioni lineari. Se $p$ rappresenta un'imposta variabile sul primo microchip, il sistema è:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discuti il sistema in funzione dell'imposta $p$.

Considera le tre rette nel piano date dalle equazioni:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discuti la posizione reciproca delle tre rette in funzione del parametro $m$. Osserva il seguente diagramma che illustra la situazione in cui le tre rette si incontrano in un unico punto (fascio di rette concorrenti).

Dato il seguente sistema a scala, discuti le sue soluzioni in funzione del parametro $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Applica il metodo di Gauss per discutere il seguente sistema in funzione del parametro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Un investitore suddivide il suo capitale in tre fondi di investimento. Il rendimento del terzo fondo dipende da un tasso di interesse $r$. Le equazioni che modellano i guadagni sono:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discuti il sistema al variare del tasso $r$.

Determina il valore di $c$ affinché il seguente sistema omogeneo abbia infinite soluzioni:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

Studiando il sistema omogeneo $\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x + ky - 2z = 0 \\ x + 4y - 3z = 0 \end{cases}$ in funzione del parametro reale $k$, Lucia afferma ad alta voce: «Se troviamo un valore di $k$ per il quale una riga si annulla nel ridurre a scala, il sistema diventerà incompatibile perché non avrà nessuna soluzione».\na) Senza bisogno di eseguire calcoli algebrici, individua l'errore concettuale di Lucia e spiega perché un sistema omogeneo non può mai essere incompatibile, indicando quale soluzione ha sempre garantita.\nb) Applica il metodo di Gauss alla matrice del sistema per determinare il valore di $k$ che fa sì che il sistema ammetta soluzioni diverse da quella banale. Per tale valore, trova una soluzione particolare non nulla.

In un esperimento chimico si mescolano tre sostanze. Le condizioni di equilibrio dell'esperimento dipendono da un catalizzatore la cui concentrazione è $c$. Il modello matematico è il seguente sistema omogeneo:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina per quali valori della concentrazione $c$ il sistema ha soluzioni diverse da quella banale ($x=0, y=0, z=0$).

Studia la posizione reciproca delle rette $r: 5x + 2y = 1$ e $s: 10x + 4y = k$ in funzione del parametro $k$.

Tre strade rettilinee di un nuovo quartiere sono date dalle equazioni di tre rette. Determina il valore del parametro $a$ affinché le tre strade passino per lo stesso punto esatto (cioè che il sistema abbia soluzione unica e confluiscano in un'unica piazza).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discuti il seguente sistema in funzione del parametro $k$ e indica per quali valori il sistema rappresenta due rette incidenti, parallele o coincidenti. Risolvilo per $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

Discuti il seguente sistema di equazioni lineari in funzione del parametro $k$, utilizzando il metodo di Gauss. Nel caso in cui sia indeterminato, trova la soluzione generale espressa in funzione di un parametro $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

Nell'analisi di una rete di traffico urbano, il flusso di veicoli all'ora in tre incroci principali è modellato da un sistema di equazioni. A causa di alcuni lavori, una delle strade ha una capacità variabile $m$. Il sistema che regola il flusso è:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discuti il flusso della rete (compatibilità del sistema) per tutti i valori reali di $m$.

In uno studio di dinamica delle popolazioni, l'interazione tra tre specie (predatore, preda e pianta) in stato di equilibrio è descritta dal seguente sistema, dove $\beta$ rappresenta il tasso di consumo della preda da parte del predatore:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina i valori di $\beta$ per i quali l'ecosistema ha un unico punto di equilibrio, infiniti o nessuno.