Equazioni con valore assoluto

Risolvi la seguente equazione lineare con valore assoluto:

$|3x - 5| = 7$

Trova i numeri la cui distanza dal numero $4$ sulla retta reale è esattamente $9$. Imposta e risolvi la corrispondente equazione con valore assoluto.

Sulla retta reale, la distanza tra due numeri $x$ e $a$ si esprime con $|x - a|$. A partire da questa interpretazione geometrica:

1. a) Scrivi un'equazione con valore assoluto della forma $|x - c| = d$ (con $d > 0$) il cui insieme delle soluzioni sia esattamente $\{-3, 7\}$. Giustifica la scelta dei valori numerici di $c$ (centro o punto medio) e di $d$ (distanza dagli estremi).
2. b) Risolvi formalmente l'equazione che hai impostato nel punto precedente per verificare in modo analitico che produce esattamente quelle due soluzioni.

Risolvi l'equazione considerando che gli argomenti dei valori assoluti sono uguali oppure opposti:

$|2x - 1| = |x + 3|$

Analizza e risolvi la seguente equazione. Giustifica la tua risposta:

$|5x + 2| = -4$

Per risolvere l'equazione $|2x - 8| = -4$, Marco scrive il seguente procedimento sul quaderno:

Marco conclude che l'equazione ha due soluzioni: $x = 2$ e $x = 6$.

1. a) Spiega con un ragionamento l'errore concettuale che commette Marco nel punto di partenza, prima di effettuare qualsiasi passaggio per ricavare l'incognita, ricorrendo alla definizione geometrica del valore assoluto.
2. b) Sostituisci i valori $x = 2$ e $x = 6$ nell'equazione originale per mostrare la contraddizione aritmetica a cui porta la sua impostazione.
3. c) Determina qual è il vero insieme delle soluzioni dell'equazione.

Trova i valori di $x$ che soddisfano la seguente equazione di secondo grado con valore assoluto:

$|x^2 - 9| = 0$

Trova tutte le soluzioni reali dell'equazione:

$|x^2 - 5x| = 6$

Trova le soluzioni della seguente equazione effettuando un opportuno cambio di variabile oppure distinguendo i casi in base al segno di $x$:

$x^2 - 4|x| - 5 = 0$

Risolvi la seguente equazione e verifica la validità delle soluzioni ottenute, scartando quelle prive di senso:

$|x - 5| = 2x - 1$

Trova i valori di $x$ che verificano la seguente equazione, controllando le soluzioni nell'equazione originale:

$|x^2 - 4x| = 3x - 6$

Una particella oscilla attorno a un punto di equilibrio. La sua posizione $x$ in certi istanti critici soddisfa l'equazione $|x^2 - 10| = 3x$. Trova le posizioni esatte $x$ in cui ciò avviene, assicurandoti di scartare le soluzioni non valide.

Risolvi la seguente equazione razionale con valore assoluto:

$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$

Risolvi la seguente equazione razionale che contiene un valore assoluto. Presta particolare attenzione ai valori che annullano il denominatore:

$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$

Considera l'equazione con due valori assoluti sommati:

1. a) Stima: Interpreta geometricamente $|x - 3|$ e $|x - 7|$ come le distanze di un punto $x$ della retta reale dai punti $3$ e $7$. Quanto vale la somma delle due distanze se $x$ si trova all'interno del segmento $[3, 7]$? Partendo da questa osservazione, spiega perché le soluzioni non possono trovarsi in tale intervallo, stima quante soluzioni deve avere l'equazione e deduci per simmetria a quale distanza dagli estremi $3$ e $7$ devono trovarsi.
2. b) Verifica: Risolvi l'equazione in modo rigoroso dividendo la retta reale in tre intervalli delimitati dai valori critici $x = 3$ e $x = 7$, eliminando le barre in base al segno di ciascun argomento in ogni tratto.
3. c) Confronta i valori esatti trovati nel punto (b) con le deduzioni che hai fatto nella stima del punto (a).

Risolvi la seguente equazione con valori assoluti annidati:

$||2x - 1| - 4| = 5$

Trova le soluzioni dell'equazione dividendo la retta reale in intervalli in base alle radici degli argomenti dei valori assoluti:

$|x - 2| + |x + 3| = 7$

Determina il valore del parametro $k$ per il quale l'equazione $|x^2 - 4x + 3| = k$ ha esattamente tre soluzioni reali distinte.

Nella figura è rappresentato il grafico di $f(x)=|x^2-4x+3|$. Usalo per stabilire quante soluzioni ha l'equazione al variare dell'altezza della retta orizzontale $y=k$, e giustifica il valore di $k$ con dei calcoli.

Trova tutte le soluzioni reali dell'equazione combinata:

$x^2 - 2|x - 1| = 2$

Risolvi la seguente equazione uguagliando il valore assoluto di un'espressione quadratica al valore assoluto di un'espressione lineare:

$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$

Una macchina taglia cavi d'acciaio per un ponte sospeso. La lunghezza $L$ (in metri) di un cavo è considerata accettabile se soddisfa l'equazione di tolleranza $|2L - 150| = 1,5$. Calcola le lunghezze massima e minima accettabili per il cavo.

In un modello economico, lo scostamento del prezzo $P$ di un'azione rispetto al suo valore di riferimento di $120$ euro è proporzionale al prezzo stesso, modellizzato dall'equazione $|P - 120| = \frac{P}{5}$. Calcola i prezzi esatti che soddisfano questa condizione.

Durante un esperimento chimico, il margine di errore nella misura del pH di una soluzione tampone è dato dall'equazione $|2p - 14| = p - 4$, dove $p$ è il valore del pH. Calcola i possibili valori di $p$ e scarta quelli privi di senso fisico o matematico in questa equazione.

In una cooperativa olivicola della Puglia si imbottiglia olio extravergine di oliva in bottiglie con un volume nominale di $1\text{ litro}$. Durante un controllo di qualità, il sensore di riempimento rileva che il volume reale di liquido $V$ (in litri) delle partite anomale soddisfa la seguente uguaglianza:

1. a) Deduci la condizione matematica che deve soddisfare l'espressione del membro di destra ($0,5 \cdot V + 0,15 \ge 0$) affinché l'equazione possa avere soluzione e interpreta che cosa significa rispetto al volume ammissibile delle bottiglie.
2. b) Risolvi l'equazione separando i due casi corrispondenti e verifica se le soluzioni candidate ottenute soddisfano la condizione del punto precedente.
3. c) Calcola l'errore assoluto di ciascun volume valido rispetto al litro nominale ($|V - 1|$) e determina quale dei due contenitori difettosi presenta una maggiore deviazione di volume.

Il profilo dell'ingresso di una tenda da campeggio dal design moderno è modellizzato dall'equazione $y = |x - 4| + |x - 8|$, dove $x$ e $y$ sono espresse in metri. Per collocare una trave di sostegno orizzontale a un'altezza di $y = 6$ metri, risolvi l'equazione $|x - 4| + |x - 8| = 6$ per trovare le coordinate $x$ degli estremi del sostegno.

Un braccio robotico si muove lungo una guida lineare. La sua distanza da due segnalatori situati nelle posizioni $x=0$ e $x=10$ deve soddisfare il vincolo dato dall'equazione $2|x| - |x - 10| = 5$. Trova le coordinate esatte $x$ in cui il robot può fermarsi.

Si vuole risolvere in $\mathbb{R}$ l'equazione con due valori assoluti uguagliati:

Per risolverla, tre studenti propongono strade diverse:

• Metodo 1 (per intervalli): Determinare i segni di $2x - 3$ e di $x + 4$ dividendo la retta reale in tre regioni mediante i punti critici $x = -4$ e $x = 1,5$, eliminando le barre in modo fisso in ciascun tratto.

• Metodo 2 (proprietà di simmetria): Applicare direttamente l'equivalenza $|A| = |B| \iff A = B \text{ o } A = -B$.

• Metodo 3 (elevamento al quadrato): Elevare al quadrato entrambi i membri per ottenere $(2x - 3)^2 = (x + 4)^2$ e risolvere l'equazione di secondo grado risultante.

1. a) Risolvi l'equazione applicando il Metodo 2 e verifica la validità delle soluzioni ottenute.
2. b) Risolvi l'equazione applicando il Metodo 3, esprimendola come differenza di quadrati $(2x - 3)^2 - (x + 4)^2 = 0$ e scomponendo in fattori senza arrivare a sviluppare i polinomi completi.
3. c) Confronta criticamente i tre metodi: giustifica perché il Metodo 2 è il più efficiente in questo caso e argomenta quali svantaggi o rischi di calcolo algebrico superfluo presentano i Metodi 1 e 3.

Si vuole costruire un'equazione con valori assoluti annidati della forma:

dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali con $b > 0$ e $c > 0$, in modo che siano soddisfatte contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. L'equazione ha esattamente tre soluzioni reali distinte.

2. La minore delle soluzioni è $x = -2$.

3. La maggiore delle soluzioni è $x = 8$.

1. a) Risolvi l'equazione «dall'esterno verso l'interno» separandola nei due rami generati dal valore assoluto esterno. Da questi due rami, deduci con ragionamento quale relazione obbligatoria deve esistere tra i parametri $b$ e $c$ affinché l'equazione abbia esattamente tre soluzioni (e non due né quattro).
2. b) Sulla base della deduzione precedente e delle soluzioni estreme date ($x = -2$ e $x = 8$), calcola i valori numerici esatti delle costanti $a$, $b$ e $c$.
3. c) Scrivi l'equazione finale con i parametri ottenuti e risolvila passo per passo per verificare che le tre soluzioni trovate soddisfino tutte le condizioni imposte.