Disequazioni con valore assoluto

Risolvi la disequazione $|x - 5| < 3$ ed esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Trova tutti i numeri reali $x$ che soddisfano la disuguaglianza $|2x + 4| \geq 8$.

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto: $|3x - 1| \leq 5$.

Giustifica se le seguenti disequazioni hanno soluzione nell'insieme dei numeri reali e, in caso affermativo, trovala:

1. a) $|x + 4| \leq 0$
2. b) $|2x - 5| < -1$

Marco deve risolvere in un compito la disequazione $|3x - 9| \leq -3$ e consegna il seguente svolgimento:

«$-(-3) \leq 3x - 9 \leq -3 \implies 3 \leq 3x - 9 \leq -3$. Sommo 9 a tutti i membri: $12 \leq 3x \leq 6$. Divido per 3: $4 \leq x \leq 2$. Quindi la soluzione sono i numeri compresi tra 4 e 2».

1. a) Indica due gravi errori concettuali commessi da Marco: uno nella sua interpretazione iniziale del valore assoluto rispetto ai numeri negativi e uno nel significato della catena di disuguaglianze ottenuta.
2. b) Senza eseguire ulteriori calcoli algebrici, deduci qual è il vero insieme delle soluzioni della disequazione e giustifica la risposta a partire dalla definizione di valore assoluto come distanza sulla retta reale.

Esprimi mediante una disequazione con valore assoluto il seguente enunciato: "La distanza tra un numero $x$ e $7$ è strettamente minore di $4$". Poi determina l'insieme delle soluzioni.

Un'azienda di trasporto di medicinali termolabili in Italia deve mantenere il proprio furgone refrigerato entro l'intervallo di temperature $[-2\text{ }^\circ\text{C}, 6\text{ }^\circ\text{C}]$ per non interrompere la catena del freddo.

1. a) Scrivi una disequazione con valore assoluto della forma $|T - T_0| \leq k$ che modellizzi esattamente questo intervallo ammissibile di temperature, identificando che cosa rappresentano geometricamente $T_0$ (temperatura centrale) e $k$ (margine di tolleranza) sulla retta reale.
2. b) Se per un guasto momentaneo al termostato la sonda registra una temperatura di $7,2\text{ }^\circ\text{C}$, verifica analiticamente se la disequazione è soddisfatta e calcola la distanza a cui si trova rispetto alla temperatura ottimale $T_0$.

In una fabbrica di componenti elettronici, la lunghezza ideale di un chip è di $12,5$ mm. Per esigenze di controllo qualità, si accetta un margine di errore massimo di $0,15$ mm. Scrivi una disequazione con valore assoluto che modellizzi questa situazione per la lunghezza $L$ del chip e risolvila per trovare l'intervallo delle lunghezze accettabili.

Il pH di una piscina deve essere mantenuto a un livello ottimale di $7,4$. Affinché l'acqua sia adatta alla balneazione, la differenza assoluta tra il pH attuale e quello ottimale non deve superare il $5\%$ del valore ottimale. Imposta la corrispondente disequazione con valore assoluto e determina l'intervallo di pH consentito.

Risolvi la disequazione quadratica con valore assoluto $|x^2 - 5| < 4$.

Trova i valori di $x$ che soddisfano la disequazione $|2x - 3| < x + 1$.

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geometricamente il valore assoluto come distanza tra punti sulla retta reale.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni lineari con valore assoluto:

La temperatura $T$ (in gradi Celsius) di un forno industriale oscilla durante il funzionamento in modo che $|2T - 300| \leq 50$. Se per ragioni di sicurezza nel processo di fusione la temperatura non può mai scendere sotto $130^\circ$C, verifica matematicamente se il forno rispetta la normativa di sicurezza garantita dalla sua oscillazione.

Risolvi la disequazione $|x^2 - 4x| > 3x$. Esprimi la soluzione sotto forma di unione di intervalli.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni combinate:

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.

La figura mostra il grafico di $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (in blu) e la retta $y = 6$ (in verde). Puoi usarla per verificare il risultato che otterrai per via algebrica.

Risolvi la disequazione razionale con valore assoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.

Considera la famiglia di disequazioni dipendenti dal parametro reale $m$ data da:

1. a) Basandoti sull'interpretazione geometrica del valore assoluto come distanza tra punti della retta reale, spiega il significato della somma $|x - 3| + |x + 1|$ e dimostra, motivando, che il suo valore minimo per ogni $x \in \mathbb{R}$ è 4.
2. b) A partire dal ragionamento precedente, determina, giustificando, per quali valori di $m$ la disequazione:

1. Non ha alcuna soluzione reale.

2. Ha come soluzione un unico punto (se ritieni che sia impossibile per qualsiasi $m$, giustifica perché).

3. Ha come soluzione esattamente l'intervallo $[-1, 3]$.

1. c) Se fissiamo $m = 8$, deduci la lunghezza e gli estremi dell'intervallo delle soluzioni basandoti esclusivamente sulla simmetria rispetto al punto medio del segmento $[-1, 3]$ e sulle distanze, senza impostare tabelle dei segni né scomporre in tre tratti.