Metodi di risoluzione
Al ristorante, Marco ordina 2 pizze e 3 bibite e paga 20 €. Giulia, al tavolo accanto, ordina 3 pizze e 1 bibita e paga 23 €. Quanto costano una pizza e una bibita? Sono due incognite e due equazioni. Nel biennio hai imparato a risolvere sistemi così con tre metodi. Quest'anno i metodi sono gli stessi, ma i sistemi si complicano: compaiono quadrati, esponenziali, logaritmi, radici, frazioni, e a volte le incognite sono tre. L'idea di fondo non cambia mai: ricondurre il sistema a qualcosa che sai già risolvere.
Ripasso: sostituzione, confronto, riduzione
Quale metodo conviene? Dipende dalla forma del sistema.
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di riduzione: $3x - 2y = 7$ $5x + 4y = 8$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di riduzione:
$3x - 2y = 7$
$5x + 4y = 8$
Sistemi non lineari
Se almeno un'equazione non è di primo grado, il sistema è non lineare. Il metodo più usato è la sostituzione: dalla equazione lineare si ricava un'incognita e la si sostituisce nell'altra, che diventa un'equazione di secondo grado in una sola incognita. Spesso le soluzioni sono due (o nessuna, o una sola doppia).
Quando entrambe le equazioni contengono solo $x^2$ e $y^2$ (e magari $x$), conviene sommare o sottrarre le equazioni per eliminare un termine.
Sistemi simmetrici
Un sistema è simmetrico se scambiando $x$ con $y$ le equazioni non cambiano. Conviene usare la somma $S=x+y$ e il prodotto $P=xy$. Ti servono due fatti:
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$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=S^2-2P$;
-
$x$ e $y$ sono le radici dell'equazione $t^2-St+P=0$ (relazioni tra radici e coefficienti).
Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari utilizzando il metodo di sostituzione: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 10$
Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari utilizzando il metodo di sostituzione:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 10$
Trova tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni non lineari, in cui entrambe le equazioni sono di secondo grado: $x^2 + y^2 - 4x = 5$ $x^2 - y^2 - 4x = -3$
Trova tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni non lineari, in cui entrambe le equazioni sono di secondo grado:
$x^2 + y^2 - 4x = 5$
$x^2 - y^2 - 4x = -3$
Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari simmetrico. Per facilitare la risoluzione, utilizza il cambio di variabili $S = x + y$ e $P = x \cdot y$:…
Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari simmetrico. Per facilitare la risoluzione, utilizza il cambio di variabili $S = x + y$ e $P = x \cdot y$:
$x^2 + y^2 = 34$
$x \cdot y = 15$
Sistemi esponenziali
Se le incognite sono negli esponenti, ci sono due strategie.
-
Stessa base: si scrive ogni membro come potenza della stessa base e si uguagliano gli esponenti ($a^m=a^n\Rightarrow m=n$ per $a>0,\ a\ne1$). Il sistema diventa lineare.
-
Cambio di variabile: se compaiono potenze come $2^x$ e $3^y$ in somma, si pone $u=2^x$, $v=3^y$ (con $u,v>0$). Il sistema in $u$, $v$ è lineare.
Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali esprimendo entrambi i membri di ciascuna equazione come potenze della stessa base: $2^{x+y} = 32$ $3^{x-y} = 9$
Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali esprimendo entrambi i membri di ciascuna equazione come potenze della stessa base:
$2^{x+y} = 32$
$3^{x-y} = 9$
Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali effettuando i cambi di variabile $u = 3^x$ e $v = 2^y$: $3^x + 2^{y+1} = 17$ $3^{x-1} - 2^y = 1$
Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali effettuando i cambi di variabile $u = 3^x$ e $v = 2^y$:
$3^x + 2^{y+1} = 17$
$3^{x-1} - 2^y = 1$
Risolvi il seguente sistema misto che combina un'equazione esponenziale e un'equazione logaritmica: $2^x \cdot 4^y = 256$ $\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Risolvi il seguente sistema misto che combina un'equazione esponenziale e un'equazione logaritmica:
$2^x \cdot 4^y = 256$
$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Sistemi logaritmici
Con i logaritmi si procede così:
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si scrivono le condizioni di esistenza: ogni argomento deve essere strettamente positivo;
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si applicano le proprietà ($\log a+\log b=\log(ab)$, $\log a-\log b=\log\dfrac ab$, $\log a^n=n\log a$) oppure la definizione $\log_a A=c\Leftrightarrow A=a^c$;
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si risolve il sistema ottenuto e si verifica che le soluzioni rispettino le C.E.
Applica la definizione di logaritmo per impostare un sistema lineare equivalente e risolvi il seguente sistema di equazioni: $\log_2(x + y) = 3$ $x - 2y = 2$
Applica la definizione di logaritmo per impostare un sistema lineare equivalente e risolvi il seguente sistema di equazioni:
$\log_2(x + y) = 3$
$x - 2y = 2$
Trova il valore di $x$ e $y$ nel seguente sistema di equazioni logaritmiche, applicando prima le proprietà dei logaritmi per semplificare le espressioni:…
Trova il valore di $x$ e $y$ nel seguente sistema di equazioni logaritmiche, applicando prima le proprietà dei logaritmi per semplificare le espressioni:
$\log(x) + \log(y) = 2$
$\log(x^2) - \log(y) = 1$
Si propone di risolvere il seguente sistema di equazioni logaritmiche nel campo dei numeri reali: $$\begin{cases} \log(x^2) + \log(y) = 4 \\ \log(x^2) - 2\log(y) = 1…
Si propone di risolvere il seguente sistema di equazioni logaritmiche nel campo dei numeri reali:
$$\begin{cases} \log(x^2) + \log(y) = 4 \\ \log(x^2) - 2\log(y) = 1 \end{cases}$$Due studenti sostengono strategie di partenza diverse:
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Sara applica direttamente la proprietà del logaritmo di una potenza, scrive $\log(x^2) = 2\log(x)$ e imposta il cambio di variabile $u = \log(x)$, $v = \log(y)$, ottenendo così soltanto la soluzione $(x, y) = (10\sqrt{10}, 10)$.
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Davide sostiene che applicare quella proprietà in questo sistema specifico riduce il dominio di validità e fa perdere soluzioni reali. Propone di mantenere intatto il blocco $\log(x^2)$ e di applicare il cambio $u = \log(x^2)$, $v = \log(y)$.
- a) Determina il dominio di definizione delle variabili $x$ e $y$ nel sistema originale e spiega con rigore matematico perché il passaggio di Sara non è una trasformazione di equivalenza in tutto tale dominio.
- b) Risolvi il sistema seguendo l'impostazione di Davide fino a trovare tutte le soluzioni reali esatte.
- c) Concludi quante soluzioni reali ha il sistema originale e scrivi la relazione generale corretta tra $\log(x^2)$ e $\log|x|$ per evitare questo tipo di errori al liceo.
Radicali
Per eliminare una radice si può isolarla e elevare al quadrato, oppure porre $u=\sqrt x$ con $u\ge0$. Ricorda le condizioni: sotto radice quadrata serve un argomento $\ge0$, e la radice è sempre $\ge0$.
Trova la soluzione del seguente sistema di equazioni che coinvolge espressioni con radicali: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ $x - y = 5$
Trova la soluzione del seguente sistema di equazioni che coinvolge espressioni con radicali:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$
$x - y = 5$
Considera il seguente sistema non lineare con radicali: $$\begin{cases} \sqrt{x} + y = 7 \\ x - y = 5 \end{cases}$$ a) Prima di operare analiticamente, fai una stima…
Considera il seguente sistema non lineare con radicali:
$$\begin{cases} \sqrt{x} + y = 7 \\ x - y = 5 \end{cases}$$- a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata della soluzione:
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Deduci algebricamente perché $x$ deve essere strettamente maggiore di $5$ e al tempo stesso minore di $49$.
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Sapendo dal sistema che $x + \sqrt{x} = 12$, stima il valore esatto o approssimato di $x$ provando semplici quadrati perfetti che rispettino tale limitazione. Quale valore stimato corrisponde a $y$?
- b) Risolvi algebricamente il sistema per sostituzione o mediante il cambio di variabile $u = \sqrt{x}$.
- c) Verifica nel sistema originale tutte le soluzioni algebriche ottenute, determina se qualcuna di esse è falsa e valuta se il risultato finale coincide con la tua stima iniziale.
Costruisci un sistema di due equazioni in due incognite ($x$ e $y$) che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni: 1. Una delle equazioni deve essere…
Costruisci un sistema di due equazioni in due incognite ($x$ e $y$) che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:
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Una delle equazioni deve essere lineare a coefficienti interi.
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L'altra equazione deve contenere almeno un radicale con l'incognita $x$ nel radicando, in modo che il sistema non sia lineare.
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Risolvendo il sistema isolando e elevando al quadrato per eliminare la radice, deve generarsi un'equazione quadratica le cui soluzioni algebriche siano le coppie $(4, 3)$ e $(9, -2)$.
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La coppia $(4, 3)$ deve essere l'unica soluzione reale e valida del sistema originale, mentre la coppia $(9, -2)$ deve essere una soluzione falsa o estranea generata esclusivamente dall'elevamento al quadrato.
Mostra passo passo la costruzione di entrambe le equazioni, risolvi il sistema completo che hai creato giustificando dove e perché compare la soluzione falsa, e spiega perché elevare al quadrato non è una trasformazione di equivalenza rigorosa delle equazioni.
Frazioni e cambio di variabile
Se le incognite compaiono solo a denominatore, poni $u=\dfrac1x$ e $v=\dfrac1y$: il sistema diventa lineare in $u$, $v$. Prima scrivi le condizioni di esistenza $x\neq0$, $y\neq0$.
Lo stesso schema vale per i sistemi esponenziali in cui compare $2^{x+1}=2\cdot2^x$ e $3^{y+1}=3\cdot3^y$: dopo aver riscritto le potenze con le proprietà, si pone $u=2^x$, $v=3^y$. Si può anche sostituire direttamente, ma il cambio di variabile è più ordinato e riduce gli errori di calcolo.
Matteo risolve il seguente sistema di equazioni mediante un cambio di variabile: $$\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 7 \\[8pt] \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{y} = -2…
Matteo risolve il seguente sistema di equazioni mediante un cambio di variabile:
$$\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 7 \\[8pt] \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{y} = -2 \end{cases}$$Per farlo, definisce $u = \dfrac{1}{x}$ e $v = \dfrac{1}{y}$, trasformandolo in un sistema lineare. Dopo aver applicato il metodo di riduzione, calcola in modo impeccabile che $u = 2$ e $v = 1$. Tuttavia, nel passaggio finale conclude: «Poiché $u = 2$ e $v = 1$, la soluzione del sistema originale è $x = 2$ e $y = 1$».
- a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Matteo nella sua deduzione finale.
- b) Annulla correttamente il cambio di variabile e trova la soluzione reale $(x, y)$ del sistema.
- c) Verifica numericamente la soluzione ottenuta sostituendola nelle due equazioni del sistema originale.
Osserva il seguente sistema di equazioni esponenziali: $$\begin{cases} 2^{x+1} - 3^y = 1 \\ 2^x + 3^{y+1} = 11 \end{cases}$$ Due studenti propongono strade diverse per…
Osserva il seguente sistema di equazioni esponenziali:
$$\begin{cases} 2^{x+1} - 3^y = 1 \\ 2^x + 3^{y+1} = 11 \end{cases}$$Due studenti propongono strade diverse per affrontarlo:
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Lucia propone di ricavare direttamente $3^y$ nella prima equazione ($3^y = 2^{x+1} - 1$) e di sostituire tale espressione nella seconda equazione, applicando che $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$.
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Marco propone di applicare prima le proprietà delle potenze per riscrivere il sistema come $2 \cdot 2^x - 3^y = 1$ e $2^x + 3 \cdot 3^y = 11$, introdurre le variabili ausiliarie $u = 2^x$ e $v = 3^y$, e risolvere il sistema lineare risultante per riduzione.
- a) Confronta i due procedimenti analizzandone la difficoltà algebrica. Quale dei due metodi riduce al minimo il rischio di commettere errori con le proprietà delle potenze? Giustifica la tua risposta.
- b) Risolvi il sistema usando il metodo che hai ritenuto più conveniente e determina i valori di $x$ e $y$.
Risolvi il seguente sistema di equazioni che contiene frazioni algebriche, indicando chiaramente le condizioni di esistenza sulle incognite:…
Risolvi il seguente sistema di equazioni che contiene frazioni algebriche, indicando chiaramente le condizioni di esistenza sulle incognite:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$
$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Tre incognite: il metodo di Gauss
Con tre equazioni in tre incognite, sostituzione e confronto diventano lunghe. La riduzione, applicata in modo ordinato, è il metodo di Gauss: si eliminano le incognite una alla volta fino a ottenere un sistema a scala, che si risolve dal basso verso l'alto.
Sono ammesse solo trasformazioni che danno sistemi equivalenti:
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scambiare due equazioni;
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moltiplicare un'equazione per un numero diverso da $0$;
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sostituire un'equazione con la somma di essa e di un multiplo di un'altra.
Un sistema a scala si legge dal basso:
Trova il valore delle incognite $x$, $y$, $z$ nel seguente sistema di equazioni lineari, già in forma a scala: $2x - y + 3z = 14$ $3y - z = 5$ $2z = 8$
Trova il valore delle incognite $x$, $y$, $z$ nel seguente sistema di equazioni lineari, già in forma a scala:
$2x - y + 3z = 14$
$3y - z = 5$
$2z = 8$
Applica il metodo di Gauss per trasformare e risolvere il seguente sistema di tre equazioni lineari in tre incognite: $x + y + z = 6$ $x - y + 2z = 5$ $x + y - z = 0$
Applica il metodo di Gauss per trasformare e risolvere il seguente sistema di tre equazioni lineari in tre incognite:
$x + y + z = 6$
$x - y + 2z = 5$
$x + y - z = 0$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss e indica se è un sistema determinato: $2x - y + 3z = 1$ $x + 2y - z = 4$ $4x - y + z = 2$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss e indica se è un sistema determinato:
$2x - y + 3z = 1$
$x + 2y - z = 4$
$4x - y + z = 2$
Sistemi determinati, indeterminati, impossibili
Un sistema lineare può avere:
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una sola soluzione: sistema determinato;
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infinite soluzioni: sistema indeterminato;
-
nessuna soluzione: sistema impossibile.
Con Gauss lo si riconosce alla fine della riduzione:
-
si ottiene un'equazione falsa come $0=1$: il sistema è impossibile;
-
si ottiene un'equazione $0=0$ (le equazioni indipendenti sono meno delle incognite): il sistema è indeterminato. Si pone una incognita uguale a un parametro $\lambda$ e si esprimono le altre in funzione di $\lambda$.
Un parametro nei coefficienti
Per un sistema $2\times2$ con parametro $k$ si confrontano i rapporti dei coefficienti. Per $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$, se i coefficienti non sono nulli:
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$\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$: sistema determinato;
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$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$: indeterminato;
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$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$: impossibile.
Discuti il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro $k$: $x + 2y = 5$ $3x + ky = 15$ Trova il valore di $k$ per il quale il sistema ha infinite…
Discuti il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro $k$:
$x + 2y = 5$
$3x + ky = 15$
Trova il valore di $k$ per il quale il sistema ha infinite soluzioni ed esprimi la soluzione generale in funzione di un parametro reale $\lambda$.
Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite mediante il metodo di Gauss. Verifica che si tratta di un sistema indeterminato ed esprimi il suo insieme…
Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite mediante il metodo di Gauss. Verifica che si tratta di un sistema indeterminato ed esprimi il suo insieme di soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:
$x - 2y + z = 3$
$2x + y - 3z = 1$
$4x - 3y - z = 7$
Analizza il seguente sistema di equazioni lineari e dimostra, utilizzando le trasformazioni del metodo di Gauss, che è un sistema impossibile: $x + y + z = 4$…
Analizza il seguente sistema di equazioni lineari e dimostra, utilizzando le trasformazioni del metodo di Gauss, che è un sistema impossibile:
$x + y + z = 4$
$2x - y + 3z = 5$
$3x + 4z = 10$
Problemi con due incognite
Per risolvere un problema con un sistema:
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scegli le incognite e scrivi che cosa rappresentano (con le unità);
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traduci ogni condizione in un'equazione;
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risolvi il sistema;
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verifica che le soluzioni abbiano senso nel problema (positive, intere se serve) e rispondi in una frase.
Torniamo alla pizzeria. Siano $p$ il prezzo di una pizza e $b$ quello di una bibita, in euro.
Torniamo al problema della pizzeria: una pizza costa 7 € e una bibita 2 €.
Nei problemi di miscugli conviene scrivere due equazioni: una per la quantità totale e una per la quantità di sostanza pura (quantità $\times$ concentrazione). Nei problemi con sconti o aumenti percentuali, il prezzo diventa $p\cdot(1-0{,}10)$ per uno sconto del $10\%$.
Un agricoltore ha raccolto $500$ kg di frutta tra mele e pere. Sapendo che il triplo dei chili di mele equivale esattamente al doppio dei chili di pere, imposta e…
Un agricoltore ha raccolto $500$ kg di frutta tra mele e pere. Sapendo che il triplo dei chili di mele equivale esattamente al doppio dei chili di pere, imposta e risolvi un sistema di equazioni lineari per determinare quanti chili di ciascun tipo di frutta ha raccolto.
In un laboratorio chimico si vogliono ottenere $100$ litri di una soluzione di acido al $30\%$. Per farlo si mescolano due soluzioni disponibili in magazzino: una con…
In un laboratorio chimico si vogliono ottenere $100$ litri di una soluzione di acido al $30\%$. Per farlo si mescolano due soluzioni disponibili in magazzino: una con concentrazione $20\%$ e un'altra al $45\%$. Imposta e risolvi un sistema di equazioni lineari per calcolare quanti litri di ciascuna soluzione si devono usare.
Un'azienda di logistica di consegne nell'area metropolitana di Napoli decide di rinnovare la propria flotta acquistando furgoni elettrici e furgoni ibridi plug-in…
Un'azienda di logistica di consegne nell'area metropolitana di Napoli decide di rinnovare la propria flotta acquistando furgoni elettrici e furgoni ibridi plug-in rientranti nel piano di incentivi. In una prima fase acquista $3$ furgoni elettrici e $4$ ibridi per un importo totale di $230\,000$ €. In una seconda fase, approfittando di una campagna promozionale in cui il produttore riduce del $10\,\%$ il prezzo di ogni furgone elettrico e del $5\,\%$ quello di ogni furgone ibrido, l'azienda compra $2$ elettrici e $5$ ibridi con una spesa di $202\,625$ €.
- a) Modellizza la situazione impostando un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Definisci con precisione cosa rappresenta ciascuna incognita e specificane le unità.
- b) Risolvi il sistema con il metodo che ritieni più idoneo (sostituzione, confronto o riduzione) per determinare il prezzo originale di ciascun tipo di veicolo prima degli sconti.
- c) Se l'azienda dispone di un residuo di bilancio di $105\,000$ €, avrà abbastanza per acquistare un furgone elettrico e due ibridi ai prezzi scontati della seconda fase? Giustifica quantitativamente la tua risposta.
Problemi con tre incognite
Quando ci sono tre grandezze legate da tre condizioni si imposta un sistema $3\times3$ e si risolve con Gauss. Una buona abitudine: scrivi le equazioni in forma ordinata ($x$, $y$, $z$ sempre nello stesso ordine) prima di ridurre.
Un'azienda tecnologica assembla tre tipi di droni: A, B e C. In totale produce $60$ droni al mese. Il numero di droni di tipo A è il doppio di quelli di tipo C, e la…
Un'azienda tecnologica assembla tre tipi di droni: A, B e C. In totale produce $60$ droni al mese. Il numero di droni di tipo A è il doppio di quelli di tipo C, e la somma dei droni di tipo B e C supera di $12$ quelli di tipo A. Imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite e risolvilo mediante il metodo di Gauss.
Un investitore ripartisce un capitale totale di $50000$ € tra tre fondi di investimento: azionario, obbligazionario e titoli di Stato. Il fondo azionario offre un…
Un investitore ripartisce un capitale totale di $50000$ € tra tre fondi di investimento: azionario, obbligazionario e titoli di Stato. Il fondo azionario offre un rendimento annuo del $8\%$, quello obbligazionario del $5\%$ e i titoli di Stato del $3\%$. L'investitore decide di destinare all'obbligazionario il doppio del capitale destinato ai titoli di Stato. Se dopo un anno i guadagni totali ammontano a $2900$ €, quanto denaro ha investito in ciascun fondo? Imposta il sistema corrispondente e risolvilo con il metodo di Gauss.
Problemi di geometria e di moto
Quando una condizione coinvolge area, diagonali (teorema di Pitagora) o prodotti, il sistema diventa non lineare. Si imposta lo stesso e si risolve per sostituzione o con $S=x+y$, $P=xy$. Nel moto uniforme valgono $s=v\cdot t$ e, per due corpi che vanno incontro l'uno all'altro, la somma degli spazi percorsi è la distanza iniziale.
Un'intersezione tra due curve (per esempio una circonferenza e un'iperbole equilatera $xy=k$) si trova risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni. Il numero di soluzioni reali è il numero di punti di intersezione.
Il perimetro di un terreno rettangolare misura $140$ m e la lunghezza della sua diagonale è $50$ m. Imposta un sistema di equazioni non lineari che descriva la…
Il perimetro di un terreno rettangolare misura $140$ m e la lunghezza della sua diagonale è $50$ m. Imposta un sistema di equazioni non lineari che descriva la situazione e risolvilo per determinare le dimensioni del terreno.
Due ciclisti partono contemporaneamente da due città A e B, distanti $120$ km, e procedono in sensi opposti per incontrarsi. Il ciclista che parte da A viaggia a una…
Due ciclisti partono contemporaneamente da due città A e B, distanti $120$ km, e procedono in sensi opposti per incontrarsi. Il ciclista che parte da A viaggia a una velocità costante che supera di $5$ km/h quella del ciclista che parte da B. Sapendo che si incrociano esattamente dopo $3$ ore, imposta un sistema di equazioni per trovare la velocità di ciascuno e la distanza percorsa da ciascun ciclista fino al punto d'incontro.
Determina analiticamente i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 25$ e l'iperbole equilatera di equazione $x \cdot y = 12$. Imposta il…
Determina analiticamente i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 25$ e l'iperbole equilatera di equazione $x \cdot y = 12$. Imposta il sistema non lineare associato, risolvilo illustrando i passaggi e spiega quante soluzioni reali esistono.