Composizione di funzioni

Date le funzioni $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = x^2 - 1$, calcola il valore numerico della composizione $(g \circ f)(2)$.

Lucia deve calcolare il valore numerico della composizione $(f \circ g)(2)$ per le funzioni $f(x) = 2x^2 - 1$ e $g(x) = 3x - 5$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

«Poiché mi chiedono $(f \circ g)(2)$, calcolo prima $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 1 = 7$. Poi inserisco questo risultato nella seconda funzione: $g(7) = 3 \cdot 7 - 5 = 16$. Quindi, $(f \circ g)(2) = 16$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia e spiega, ricorrendo alla definizione teorica di composizione di funzioni, perché il suo ragionamento non è corretto.
2. b) Esegui i calcoli nell'ordine corretto per trovare il valore giusto di $(f \circ g)(2)$.
3. c) Quale espressione o valore ha calcolato in realtà Lucia? Giustifica la tua risposta.

Osserva il seguente grafico in cui sono rappresentate le funzioni $f(x)$ (in blu) e $g(x)$ (in verde). A partire dall'informazione visiva e senza bisogno di ricavare le loro espressioni algebriche, determina i valori numerici di $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(-1)$.

Trova l'espressione algebrica della funzione composta $(f \circ g)(x)$ sapendo che $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$.

Data la funzione composta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, esprimila come composizione di due funzioni più semplici $(g \circ f)(x)$, indicando chiaramente qual è l'espressione di $f(x)$ e quale quella di $g(x)$.

Sapendo che $f(x) = 3x + 2$ e che la funzione composta è $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determina l'espressione algebrica della funzione esterna $g(x)$.

Scomponi la funzione composta $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ come composizione successiva di quattro funzioni elementari $f_1, f_2, f_3, f_4$ in modo che $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indica chiaramente l'espressione algebrica di ciascuna delle quattro funzioni.

Utilizzando le funzioni $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$, trova l'espressione di $(g \circ f)(x)$ e verifica analiticamente che la composizione di funzioni non è commutativa.

Verifica analiticamente che componendo la funzione $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ con la funzione identità $I(x) = x$ si ottiene la stessa funzione originale. Calcola e semplifica sia $(f \circ I)(x)$ sia $(I \circ f)(x)$.

Un negozio di elettronica applica uno sconto del $15\%$ a tutti i suoi prodotti, modellizzato con la funzione $d(x) = 0,85x$. Inoltre, un cliente ha un buono fedeltà di $20$ euro di sconto diretto, modellizzato dalla funzione $c(x) = x - 20$. Determina le espressioni di $(c \circ d)(x)$ e $(d \circ c)(x)$. Quale ordine di composizione conviene di più al cliente se vuole comprare un computer il cui prezzo iniziale è di $600$ euro?

Date le funzioni $f(x) = 2x + k$ e $g(x) = 4x - 3$, trova il valore del parametro $k$ affinché valga la proprietà commutativa in questo caso particolare, cioè che $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ per qualsiasi valore di $x$.

Determina rigorosamente il dominio della funzione composta $(g \circ f)(x)$ sapendo che $f(x) = x - 4$ e $g(x) = \sqrt{x}$.

Date le funzioni $f(x)$ e $g(x)$, dove $f(x) = 2x$ se $x < 1$ e $f(x) = x^2$ se $x \geq 1$, e la funzione $g(x) = x + 3$. Determina l'espressione analitica completa della funzione composta $(f \circ g)(x)$, prestando particolare attenzione agli intervalli di definizione.

Considera le funzioni $f(x) = \sqrt{x + 3}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Esegui uno studio analitico rigoroso per determinare il dominio di definizione della funzione composta $(f \circ g)(x)$.

Lanciando un sasso in uno stagno, si forma un'onda circolare il cui raggio aumenta nel tempo secondo la funzione $r(t) = 2,5t$ (con $r$ in centimetri e $t$ in secondi). Sapendo che l'area del cerchio è data da $A(r) = \pi r^2$, trova la funzione $(A \circ r)(t)$ che descrive l'area in funzione del tempo e calcola l'area della superficie interessata dopo $4$ secondi.

La domanda di energia elettrica di una città, in megawatt, dipende dalla temperatura ambiente secondo la funzione $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. A sua volta, la temperatura varia nel tempo, in ore, secondo $T(t) = 1,5t + 10$. Calcola la domanda elettrica esatta dopo $6$ ore.

Una mongolfiera sferica viene gonfiata mediante un compressore che immette aria a ritmo costante, in modo che il suo volume in metri cubi sia dato da $V(t) = 12t$ (con $t$ in minuti). Sapendo che il volume di una sfera è $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e la sua superficie è $S = 4\pi r^2$, trova la funzione composta $S(t)$ che fornisce la superficie della mongolfiera direttamente in funzione del tempo trascorso.